【数据结构初阶】--树和二叉树先导篇

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前言： 在之前的博客中我们学习了顺序表和链表，栈和队列，那么现在我们准备开始进去树和二叉树的学习了，这一块的知识会比前面难很多，我们第一个这个先导篇主要是为大家介绍一下其中的一些概念

一.树的概念和结构

--树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限的节点组成的一个具有关系层次的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，其根是朝上的，叶子朝下。

• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每一个集合 Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。

树形结构中，子树之间一定没有交集，否则就不是树形结构了，我们来看一些非树形结构

树的性质：

• 子树是不相交的（如果存在相交就是图了，图以后得课程会有讲解）
• 除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个父结点
• ⼀棵N个结点的树有N-1条边

二.树的一些相关术语和定义

• 父结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 子o结点/孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 结点的度：一个结点有几个孩子，他的度就是多少；比如A的度为6，F的度为2，K的度为0
• 树的度：⼀棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6
• 叶子结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I... 等结点为叶结点
• 分支结点/非终端结点：度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G... 等结点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
• 路径：一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列；比如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

这些小概念看起来很多，其实理解起来很简单，大家对这些概念需要比较熟悉，后面有的地方会用到

三.树的表示方法以及实际运用场景

树的表示：

--树的结构比较复杂，存储起来很麻烦，实际中我们树有很多种表示方法，比如孩子表示法，但我们树的表示如果全用孩子节点的话需要的个数会很多，很不方便。所以我们最常用的是孩子兄弟表示法，我们一起来看一下这个方法吧。

struct TreeNode
{
    struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点
    struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点
    int data; // 结点中的数据域
};

树的实际运用：

--文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式，它利用树形结构来组织和管理文件以及文件夹。在文件系统中，树结构的运用十分广泛，它通过父节点和子节点之间的关系来表示不同层次文件之间的关联

四.二叉树的概念与结构

--在树形结构中，如果我们直接使用太过复杂，我们比较常用的一般是二叉树，一颗二叉树是结点的一个有效集合，该集合由一个根结点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空。

通过上述图片我们可以看出二叉树具有以下特点：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不可以颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况符合而成的

五.特殊的二叉树

满二叉树：

一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树层次为k,其结点总数就是2^k-1，则它就是满二叉树。

完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。注意满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

📝二叉树的性质： --根据满二叉树的性质可知：

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵非空二叉树的第i层上最多有 2 ^(i−1) 个结点
2. 若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2 ^h − 1
3. 若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 h = log(n + 1) ( log以2为底， n+1 为对数)

--完全二叉树最后一层结点个数<=2^(i-1)

六.二叉树存储结构

--二叉树一般可以使用两种结构存储，一种是顺序结构，一种是链式结构。

顺序结构：

--顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，⼀个是数据结构，⼀个是操作系统中管理内存的⼀块区域分段。

链式结构：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习的二叉树⼀般都是二叉链，后续红黑树等高阶数据结构的学习会用到三叉树

往期回顾：

【数据结构初阶】--双向链表(一)

【数据结构初阶】--双向链表(二)

【数据结构初阶】--栈和队列(一)

【数据结构初阶】--栈和队列(二)

结语：这篇博客带大家了解了树和二叉树的一些概念与术语以及两种存储结构的概念和思想，在后续的博客中我会带大家深入了解这两种结构，并进行代码的实现，如果文章对你有帮助的话，欢迎评论，点赞，收藏加关注，感谢大家的支持。