【数据结构与算法】之龟兔赛跑算法

艾伦耶格尔

发布于 2025-08-28 15:28:26

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本文主要介绍以环形链表相关的算法，主要采用Java语言实现，这类算法又称Floyd's Tortoise and Hare Algorithm （Floyd 龟兔赛跑算法），不得不说，这个原理挺神奇的就解决了，环形链表的问题。

注意：以下代码有关链表的算法实现均基于以下链表节点类：

//链表节点类
public class ListNode {
    int val;
    ListNode next;
    ListNode() {}
    ListNode(int val) { this.val = val; }
    ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }
}

龟兔算法动画来自：

Floyd's Hare and Tortoise Algorithm Demo - One Step! Code

相关教程：

一、龟兔赛跑算法

如果链表上存在环，那么在环上以不同速度前进的两个指针必定会在某个时刻相遇（如上图所示）。算法分为两个阶段。

1.1 阶段1

龟一次走一步，兔子一次走两步
当兔子能走到终点时，不存在环
当兔子能追上龟时，可以判断存在环

存在环情况：（上帝视角）

不存在环情况：（上帝视角）

1.2 阶段2

从它们第一次相遇开始，龟回到起点，兔子保持原位不变
龟和兔子一次都走一步
当再次相遇时，地点就是环的入口

a.第一次相遇：（证明已经是环）

b.龟回到起点，兔子保持原位不变：

c.再次相遇：再次相遇的位置为环入口

！！！！！！

1.3 为什么呢？

********精髓之处********

设起点到入口走 a 步（本例是 7），绕环一圈长度为 b（本例是 5），
那么从起点开始，走 a + 绕环 n 圈，都能找到环入口
第一次相遇时
- 兔走了 a + 绕环 n 圈（本例 2 圈） + k，k 是它们相遇距环入口位置（本例 3，不重要）
- 龟走了 a + 绕环 n 圈（本例 0 圈） + k，当然它绕的圈数比兔少
- 兔走的距离是龟的两倍，所以龟走的 = 兔走的 - 龟走的 = 绕环 n 圈
而前面分析过，如果走 a + 绕环 n 圈，都能找到环入口，因此从相遇点开始，再走 a 步，就是环入口
实在不理解的话，可以理解为快慢指针，遵循以上结论

知晓了龟兔算法的精髓后，下来解决这两个经典问题！

二、判断是否有环

2.1 问题描述

给你一个链表的头节点 head ，判断链表中是否有环。

如果链表中有某个节点，可以通过连续跟踪 next 指针再次到达，则链表中存在环。为了表示给定链表中的环，评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。注意：pos 不作为参数进行传递 。仅仅是为了标识链表的实际情况。

如果链表中存在环，则返回 true 。否则，返回 false

2.2 示例

示例一：

输入：head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出：true
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第二个节点。

示例二：

输入：head = [1,2], pos = 0
输出：true
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第一个节点。

示例三：

输入：head = [1], pos = -1
输出：false
解释：链表中没有环。

2.3 代码实现

public boolean hasCycle(ListNode head) {
    ListNode h = head; // 兔
    ListNode t = head; // 龟
    while (h != null && h.next != null) {
        t = t.next;
        h = h.next.next;
        if(h == t){  // 龟兔相遇时，证明是环
            return true;
        }
    }
    return false;
}

三、找到环入口

3.1 问题描述

给定一个链表的头节点 head ，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回 null。

如果链表中有某个节点，可以通过连续跟踪 next 指针再次到达，则链表中存在环。为了表示给定链表中的环，评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。如果 pos 是 -1，则在该链表中没有环。注意：pos 不作为参数进行传递，仅仅是为了标识链表的实际情况。

不允许修改 链表。

3.2 示例

示例一：

输入：head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出：返回索引为 1 的链表节点
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第二个节点。

示例二：

输入：head = [1,2], pos = 0
输出：返回索引为 0 的链表节点
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第一个节点。

示例三：

输入：head = [1], pos = -1
输出：返回 null
解释：链表中没有环。

3.3 代码实现

public ListNode detectCycle(ListNode head) {
    ListNode t = head; // 龟
    ListNode h = head; // 兔
    while (h != null && h.next != null) {
        t = t.next;
        h = h.next.next;
        if (h == t) {  //证明是环
            t = head;  //龟回到起点
            while (true) {
                if (h == t) { //再次相遇即为环入口
                    return h;
                }
                h = h.next; //同时前进
                t = t.next; //同时前进
            }
        }
    }
    return null;
}