【HDU】1757 - A Simple Math Problem（矩阵构造方法 & 快速幂）

FishWang

发布于 2025-08-27 09:27:14

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A Simple Math Problem

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Problem Description

Lele now is thinking about a simple function f(x). If x < 10 f(x) = x. If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10); And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 . Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.

Input

The problem contains mutiple test cases.Please process to the end of file. In each case, there will be two lines. In the first line , there are two positive integers k and m. ( k<2*10^9 , m < 10^5 ) In the second line , there are ten integers represent a0 ~ a9.

Output

For each case, output f(k) % m in one line.

Sample Input

   10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample Output

   45
104

Author

linle

Source

2007省赛集训队练习赛（6）_linle专场

矩阵快速幂已经基本掌握了，然后就是矩阵构造的问题，由于没有学过线性代数，网上的教程好多都看不懂。

但是我差不多总结出来一个基本思路，先做一个 1 * n 的矩阵 A ，它表示递推式中的关系（不含系数）。

然后再构造一个矩阵 B 表示结果的矩阵，这个矩阵中就是把上一个矩阵的 n 变为 n+1 。

然后找出一个中间矩阵 C （n * n）使 A * C == B。

然后根据矩阵的结合律（实际上我不知道这个结合律怎么用）得出 A * C^ ( n - x ) == B 这个 x 的具体数值根据矩阵直接的关系观察得到。

然后是这道题，用刚刚的方法：（画矩阵好难啊 T^T）我找个网站吧，跟我分析的方法总体思路差不多。

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然后加上一个矩阵快速幂就行了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 10
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int a[11];
__int64 MOD;
struct Matrix
{
	__int64 m[MAX+5][MAX+5];
	int w,h;
}pr,res,ori;
void init()
{
	pr.w = pr.h = 10;		//构造10*10的矩阵
	CLR(pr.m,0);
	for (int i = 1 ; i <= 10 ; i++)
		pr.m[i][1] = a[i-1];
	for (int i = 1 ; i <= 9 ; i++) 		//从第1行到第九行构造初始矩阵
		pr.m[i][i+1] = 1;
	res.h = 10;		//构造单位矩阵
	res.w = 10;
	CLR(res.m,0);
	for (int i = 1 ; i <= 10 ; i++)
		res.m[i][i] = 1;
}
Matrix Matrix_multiply(Matrix x,Matrix y)
{
	Matrix t;
	t.h = x.h;
	t.w = y.w;
	CLR(t.m,0);
	for (int i = 1 ; i <= x.h ; i++)
	{
		for (int j = 1 ; j <= x.w ; j++)
		{
			if (x.m[i][j] == 0)
				continue;
			for (int k = 1 ; k <= y.w ; k++)
				t.m[i][k] = (t.m[i][k] + x.m[i][j] * y.m[j][k] % MOD) % MOD;
		}
	}
	return t;
}
void Matrix_mod(int n)		//矩阵快速幂 
{
	while (n)
	{
		if (n & 1)
			res = Matrix_multiply(res , pr);
		pr = Matrix_multiply(pr , pr);
		n >>= 1;
	}
}
int main()
{
	int n;
	ori.w = 10;
	ori.h = 1;
	for (int i = 1 ; i <= 10 ; i++)
		ori.m[1][i] = (10 - i);
	while (~scanf ("%d %I64d",&n,&MOD))
	{
		for (int i = 0 ; i < 10 ; i++)
			scanf ("%d",&a[i]);
		if (n < 10)
		{
			printf ("%d\n",n);
			continue;
		}
		init();
		Matrix_mod(n - 9);
		res = Matrix_multiply(ori , res);		//要注意矩阵乘法没有交换律
		printf ("%I64d\n",res.m[1][1]);
	}
	return 0;
}

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原始发表：2025-08-26，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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