【HDU】1267 - 下沙的沙子有几粒？（BigDecimal & 卡特兰数 & 递推 & 打表）

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下沙的沙子有几粒？

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Problem Description

2005年11月份，我们学校参加了ACM/ICPC 亚洲赛区成都站的比赛，在这里，我们获得了历史性的突破，尽管只是一枚铜牌，但获奖那一刻的激动，也许将永远铭刻在我们几个人的心头。借此机会,特向去年为参加ACM亚洲赛而艰苦集训了近半年的各位老队员表示感谢。 实际上，除了获奖以外，在这次比赛期间还有一件事也让我们记忆深刻。那是比赛当天等待入场的时候，听到某个学校的一个队员在说：“有个学校的英文名很有意思，叫什么Hangzhou Dianzi University”. 哈哈，看来我们学校的英文名起的非常好，非常吸引人呀。 不过，事情的发展谁也没有料到，随着杭电英文校名的这一次曝光，影响越来越大，很多人开始对杭电英文校名进行研究，不久以后甚至还成立了一个专门的研究机构，叫做“HDU 校名研究会”。并不断有报道说-相-当-多的知名科学家改行，专门对该问题进行研究，学术界称之为“杭电现象”。很多人在国际知名期刊上发表了研究论文，这其中，尤以中国超级女科学家宇春小姐写的一篇研究报告最为著名，报告发表在science上，标题是“杭电为什么这样红？” 文中研究发现：Hangzhou Dianzi University这个校名具有深刻的哲学思想和内涵，她同时提出了一个大胆的猜想：“假定一个字符串由m个H和n个D组成，从左到右扫描该串，如果字符H的累计数总是不小于字符D的累计数,那么，满足条件的字符串总数就恰好和下沙的沙粒一样多。” 这就是当今著名的“宇春猜想”！ 虽然还没能从数学上证明这个猜想的正确性，但据说美国方面在小布什的亲自干预下，已经用超级计算机验证了在（1<=n<=m<=1000000000000）时都是正确的。my god! 这是一个多么伟大的猜想！虽然我们以前总说，21世纪是属于中国的，可还是没想这一天来的这么早，自豪ing... + 感动ing... 感动和自豪之余，问题也来了，如果已知m和n的值，请计算下沙的沙粒到底有多少。 Ps: 1. 中国有关方面正在积极行动，着手为宇春小姐申报诺贝尔奖。 2、“宇春猜想”中提到的H和D组成的字符串现在被学术界成为“杭电串串”（“杭电串串”前不久被一个卖羊肉串的注册了商标，现在我校正在积极联系买断，据说卖方的底价是1000万欧元，绝不打折，看来希望不大，sigh...）

Input

输入数据包含多个测试实例，每个占一行，由两个整数m和n组成，m和 n 分别表示字符串中H和D的个数。由于我们目前所使用的微机和老美的超级计算机没法比，所以题目给定的数据范围是（1<=n<=m<=20）。

Output

对于每个测试实例，请输出下沙的沙粒到底有多少，计算规则请参考“宇春猜想”，每个实例的输出占一行。

Sample Input

   1 1
3 1

Sample Output

   1
3

Author

lcy

Source

HDU 2006-4 Programming Contest

这题目描述……可以，这很杭电。

我自己画了一个表格，看出来递推的方法了。

表格：

好了现在我们看图说规律。首先看对角线红字的部分，可以看出是卡特兰数，也就是说n==m的情况下，输出应该是卡特兰数。然后再中间部分，从蓝色的地方，我们可以观察到，它的值的得出是由两个黄色箭头的数相加得到，然后我们就递推就行了。

代码如下：

import java.math.BigDecimal;
import java.util.Scanner;

public class Main
{
	public static void main(String[] args)
	{
	    Scanner sc = new Scanner(System.in); 
	    BigDecimal Cat[] = new BigDecimal [22];
	    BigDecimal one = new BigDecimal(1);
	    BigDecimal two = new BigDecimal(2);
	    BigDecimal four = new BigDecimal(4);
	    Cat[1] = Cat[0] = new BigDecimal(1);
	    for (int i = 2 ; i <= 20 ; i++)     //打印卡特兰数
	    {
	        BigDecimal t = new BigDecimal(i);
	        Cat[i] = Cat[i-1].multiply(four.multiply(t).subtract(two)).divide(t.add(one));
	    }
	    BigDecimal dp[][] = new BigDecimal [22][22];
	    for (int i = 1 ; i <= 20 ; i++)
	    {
	        dp[i][0] = new BigDecimal(1);
	    }
	    for (int i = 1 ; i <= 20 ; i++)     //n==m时，结果为其对应的卡特兰数
	    {
	        dp[i][i] = Cat[i];
	    }
	    for (int i = 2 ; i <= 20 ; i++)
	    {
	        for (int j = 1 ; j < i ; j++)
	        {
	            dp[i][j] = dp[i-1][j].add(dp[i][j-1]);
	        }
	    }
	    while (sc.hasNext())        //输入
	    {
	        int m = sc.nextInt();
	        int n = sc.nextInt();
	        System.out.println(dp[m][n]);
	    }
	}
}