【深度学习优化算法】09：Adadelta算法

Francek Chen

发布于 2025-08-02 09:00:56

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【作者主页】Francek Chen 【专栏介绍】

深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

Adadelta是AdaGrad的另一种变体，主要区别在于前者减少了学习率适应坐标的数量。此外，广义上Adadelta被称为没有学习率，因为它使用变化量本身作为未来变化的校准。

一、算法

简而言之，Adadelta使用两个状态变量，

\mathbf{s}_t

用于存储梯度二阶导数的泄露平均值，

\Delta\mathbf{x}_t

用于存储模型本身中参数变化二阶导数的泄露平均值。请注意，为了与其他出版物和实现的兼容性，我们使用作者的原始符号和命名（没有其它真正理由让大家使用不同的希腊变量来表示在动量法、AdaGrad、RMSProp和Adadelta中用于相同用途的参数）。

以下是Adadelta的技术细节。鉴于参数du jour是

\rho

，我们获得了与RMSProp算法类似的以下泄漏更新：

\begin{aligned} \mathbf{s}_t & = \rho \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \rho) \mathbf{g}_t^2 \end{aligned} \tag{1}

与RMSProp算法的区别在于，我们使用重新缩放的梯度

\mathbf{g}_t'

执行更新，即

\begin{aligned} \mathbf{x}_t & = \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t' \end{aligned}\tag{2}

那么，调整后的梯度

\mathbf{g}_t'

是什么？我们可以按如下方式计算它：

\begin{aligned} \mathbf{g}_t' & = \frac{\sqrt{\Delta\mathbf{x}_{t-1} + \epsilon}}{\sqrt{{\mathbf{s}_t + \epsilon}}} \odot \mathbf{g}_t \\ \end{aligned} \tag{3}

其中

\Delta \mathbf{x}_{t-1}

是重新缩放梯度的平方

\mathbf{g}_t'

的泄漏平均值。我们将

\Delta \mathbf{x}_{0}

初始化为

，然后在每个步骤中使用

\mathbf{g}_t'

更新它，即

\begin{aligned} \Delta \mathbf{x}_t & = \rho \Delta\mathbf{x}_{t-1} + (1 - \rho) {\mathbf{g}_t'}^2 \end{aligned} \tag{4}

\epsilon

（例如

10^{-5}

这样的小值）是为了保持数字稳定性而加入的。

二、代码实现

Adadelta需要为每个变量维护两个状态变量，即

\mathbf{s}_t

和

\Delta\mathbf{x}_t

。这将产生以下实现。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

def init_adadelta_states(feature_dim):
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    delta_w, delta_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            # In-placeupdatesvia[:]
            s[:] = rho * s + (1 - rho) * torch.square(p.grad)
            g = (torch.sqrt(delta + eps) / torch.sqrt(s + eps)) * p.grad
            p[:] -= g
            delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
        p.grad.data.zero_()

对于每次参数更新，选择

\rho = 0.9

相当于10个半衰期。由此我们得到：

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adadelta, init_adadelta_states(feature_dim), {'rho': 0.9}, data_iter, feature_dim);

为了简洁实现，我们只需使用高级API中的Adadelta算法。

trainer = torch.optim.Adadelta
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'rho': 0.9}, data_iter)

小结

Adadelta没有学习率参数。相反，它使用参数本身的变化率来调整学习率。
Adadelta需要两个状态变量来存储梯度的二阶导数和参数的变化。
Adadelta使用泄漏的平均值来保持对适当统计数据的运行估计。

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原始发表：2025-08-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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