【动态规划：斐波那契数列模型】三步问题（easy）

利刃大大

发布于 2025-07-22 08:33:02

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三步问题（easy）

面试题 08.01. 三步问题

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

示例2:

 输入：n = 5
 输出：13

提示:

n范围在[1, 1000000]之间

解题思路

首先要确定的是状态的表示，从题目可以看出，要求的是小孩上楼的方式，也就是 dp[i] 的值，那么 dp[i] 就表示到达第 i 阶的方法。

然后就是状态转移方程，在求方程的时候，其实我们一般都很推荐画图，如下图：

我们会发现，因为小孩一次可以跳三个台阶，以 i-3 为例，跳到 i-3 的方法有 dp[i-3] 种，那么接下来从 i-3 跳到 i，也就是 dp[i-3] 种，因为可以一步就跳到 i 位置处。也就是说从 i-3 跳到 i，有 dp[i-3] 种方法！

对于 i-2 和 i-1也是同样的，跳到 i 位置处分别是 dp[i-2] 和 dp[i-1]，所以最后跳到 i 的方法就是它们的总和。

状态方程如下：

dp[i] = dp[i-3] + dp[i-2] + dp[i-1]

接着就是初始化问题啦，因为假设 i 是 1，那么这里的 dp[i-2] 等就越界了，所以我们必须做一下判断，防止越界！

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) {
        // 越界判断
        if(n == 1 || n == 2)
            return n;
        if(n == 3)
            return 4;

        // 创建dp表
        vector<int> dp(n + 1);

        // 初始化，0处其实就像是地面，所以我们不用去管
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;

        // 通过状态转移方程填表
        for(int i = 4; i <= n; ++i)
        {
            // 采用下面第一种方式则只需要类型为int即可，而第二种则需要用long类型，因为第一种是每加一次就取模
            dp[i] = ((dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007 + dp[i-3]) % 1000000007;
            // dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]) % 1000000007;
        }

        // 返回值
        return dp[n];
    }
};

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原始发表：2025-07-08，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除