【深度学习优化算法】07：AdaGrad算法
【深度学习优化算法】07：AdaGrad算法
【作者主页】Francek Chen 【专栏介绍】
深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。 【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。
我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。
一、稀疏特征和学习率
假设我们正在训练一个语言模型。为了获得良好的准确性，我们大多希望在训练的过程中降低学习率，速度通常为
或更低。现在讨论关于稀疏特征（即只在偶尔出现的特征）的模型训练，这对自然语言来说很常见。例如，我们看到“预先条件”这个词比“学习”这个词的可能性要小得多。但是，它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。
只有在这些不常见的特征出现时，与其相关的参数才会得到有意义的更新。鉴于学习率下降，我们可能最终会面临这样的情况：常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值，而对于不常见的特征，我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。换句话说，学习率要么对于常见特征而言降低太慢，要么对于不常见特征而言降低太快。
解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数，然后将其用作调整学习率。即我们可以使用大小为
的学习率，而不是
。在这里
计下了我们截至
时观察到功能
的次数。这其实很容易实施且不产生额外损耗。
AdaGrad算法通过将粗略的计数器
替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。它使用
来调整学习率。这有两个好处：首先，我们不再需要决定梯度何时算足够大。其次，它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小，而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。在实际应用中，它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。但是，它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势，这些优势在预处理环境中很容易被理解。
二、预处理
凸优化问题有助于分析算法的特点。毕竟对大多数非凸问题来说，获得有意义的理论保证很难，但是直觉和洞察往往会延续。让我们来看看最小化
这一问题。
正如在动量法中那样，我们可以根据其特征分解
重写这个问题，来得到一个简化得多的问题，使每个坐标都可以单独解出：
在这里我们使用了
，且因此
。修改后优化器为
且最小值为
。这样更容易计算，因为
是一个包含
特征值的对角矩阵。
如果稍微扰动
，我们会期望在
的最小化器中只产生微小的变化。遗憾的是，情况并非如此。虽然
的微小变化导致了
同样的微小变化，但
的（以及
的）最小化器并非如此。每当特征值
很大时，我们只会看到
和
的最小值发声微小变化。相反，对小的
来说，
的变化可能是剧烈的。最大和最小的特征值之比称为优化问题的条件数（condition number）：
如果条件编号
很大，准确解决优化问题就会很难。我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎：难道我们不能简单地通过扭曲空间来“修复”这个问题，从而使所有特征值都是
？理论上这很容易：我们只需要
的特征值和特征向量即可将问题从
整理到
中的一个。在新的坐标系中，
可以被简化为
。可惜，这是一个相当不切实际的想法。一般而言，计算特征值和特征向量要比解决实际问题“贵”得多。
虽然准确计算特征值可能会很昂贵，但即便只是大致猜测并计算它们，也可能已经比不做任何事情好得多。特别是，我们可以使用
的对角线条目并相应地重新缩放它。这比计算特征值开销小的多。
在这种情况下，我们得到了
，特别注意对于所有
，
。在大多数情况下，这大大简化了条件数。例如我们之前讨论的案例，它将完全消除眼下的问题，因为问题是轴对齐的。
遗憾的是，我们还面临另一个问题：在深度学习中，我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数：对于
，即使只在小批量上，二阶导数可能也需要
空间来计算，导致几乎不可行。AdaGrad算法巧妙的思路是，使用一个代理来表示黑塞矩阵（Hessian）的对角线，既相对易于计算又高效。
为了了解它是如何生效的，让我们来看看
。我们有
其中
是
的优化器。因此，梯度的大小取决于
和与最佳值的差值。如果
没有改变，那这就是我们所求的。毕竟在这种情况下，梯度
的大小就足够了。由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法，所以即使是在最佳值中，我们也会看到具有非零方差的梯度。因此，我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。
三、算法
让我们接着上面正式开始讨论。我们使用变量
来累加过去的梯度方差，如下所示：
在这里，操作是按照坐标顺序应用。也就是说，
有条目
。同样，
有条目
，并且
有条目
。与之前一样，
是学习率，
是一个为维持数值稳定性而添加的常数，用来确保我们不会除以
。最后，我们初始化
。
就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样，在AdaGrad算法中，我们允许每个坐标有单独的学习率。与SGD算法相比，这并没有明显增加AdaGrad的计算代价，因为主要计算用在
及其导数。
请注意，在
中累加平方梯度意味着
基本上以线性速率增长（由于梯度从最初开始衰减，实际上比线性慢一些）。这产生了一个学习率
，但是在单个坐标的层面上进行了调整。对于凸问题，这完全足够了。然而，在深度学习中，我们可能希望更慢地降低学习率。这引出了许多AdaGrad算法的变体，我们将在后续章节中讨论它们。眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。我们仍然以同一函数为例：
我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法，即
。可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。但由于
的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。
%matplotlib inline
import math
import torch
from d2l import torch as d2ldef adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
eps = 1e-6
g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
s1 += g1 ** 2
s2 += g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
我们将学习率提高到
，可以看到更好的表现。这已经表明，即使在无噪声的情况下，学习率的降低可能相当剧烈，我们需要确保参数能够适当地收敛。
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
四、从零开始实现
同动量法一样，AdaGrad算法需要对每个自变量维护同它一样形状的状态变量。
def init_adagrad_states(feature_dim):
s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
s_b = torch.zeros(1)
return (s_w, s_b)
def adagrad(params, states, hyperparams):
eps = 1e-6
for p, s in zip(params, states):
with torch.no_grad():
s[:] += torch.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
p.grad.data.zero_()与小批量随机梯度下降一节中的实验相比，这里使用更大的学习率来训练模型。
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim), {'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
五、简洁实现
我们可直接使用深度学习框架中提供的AdaGrad算法来训练模型。
trainer = torch.optim.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.1}, data_iter)
小结
- AdaGrad算法会在单个坐标层面动态降低学习率。
- AdaGrad算法利用梯度的大小作为调整进度速率的手段：用较小的学习率来补偿带有较大梯度的坐标。
- 在深度学习问题中，由于内存和计算限制，计算准确的二阶导数通常是不可行的。梯度可以作为一个有效的代理。
- 如果优化问题的结构相当不均匀，AdaGrad算法可以帮助缓解扭曲。
- AdaGrad算法对于稀疏特征特别有效，在此情况下由于不常出现的问题，学习率需要更慢地降低。
- 在深度学习问题上，AdaGrad算法有时在降低学习率方面可能过于剧烈。我们将在Adam算法一节讨论缓解这种情况的策略。
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