微分基础总结

单变量函数可导性总结

一、单点可导的核心条件

若函数 f(x) 在点 x_0 可导，需同时满足：

1. 定义存在性 f(x) 在 x_0 的某个去心邻域（如 (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) ）内有定义。
2. 左右导数存在且相等- 左导数： f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
   • 右导数： f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} undefined 要求 f'_-(x_0) = f'_+(x_0) 。
3. 连续性（隐含条件） 可导必连续：若 f(x) 在 x_0 可导，则其在 x_0 连续。

反例说明：

• f(x) = |x| 在 x=0 处：- 左导数 = -1 ，右导数 = 1 （不相等）→ 不可导。
• f(x) = x^{1/3} 在 x=0 处：- 左右导数均为 +\infty （极限不存在）→ 不可导。

二、区间可导的完整条件

函数在区间 I （开/闭区间）上可导需满足：

1. 开区间 (a, b) undefined**f(x) 在 (a, b) 内 每一点均可导**。
2. 闭区间 [a, b] - 在开区间 (a, b) 内每一点可导；
   • 在左端点 a 处 右导数存在；
   • 在右端点 b 处 左导数存在。

示例对比：

• f(x) = \sqrt{x} 在 [0, 1] 上：- (0,1) 内可导（导数 \frac{1}{2\sqrt{x}} ）； - x=0 处右导数为 +\infty （不存在）→ 在 [0,1] 不可导。
• f(x) = x^2 在 [-1, 1] 上：- 开区间内可导，端点处左右导数均存在（如 x=1 处左导数为 2 ）→ 可导。

三、可导与连续的关系

1. 可导 ⇒ 连续 若 f(x) 在 x_0 可导，则其在 x_0 必连续。
2. 连续 ⇏ 可导 连续函数可能因“尖点”“垂直切线”导致不可导（如 |x| 在 x=0 处）。
3. 不连续 ⇒ 不可导 间断点处导数必然不存在。

四、常见误区与反例

• 误区：“定义域内函数处处可导” 反例：魏尔斯特拉斯函数（处处连续但处处不可导）。
• 误区：“导数存在则函数光滑” 反例：f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} 在 x=0 可导，但导数不连续。

总结：区间可导的充要条件

简记为：区间内无间断、无尖点、无垂直切线，端点单侧导数存在（闭区间）。

导数与反函数的关系

一、核心关系：导数互为倒数

1. 基本公式 若函数 y = f(x) 严格单调、可导且 f'(x) \neq 0 ，其反函数 x = f^{-1}(y) 的导数为： \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{或} \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} undefined - 推导逻辑： 由链式法则 f(f^{-1}(y)) = y 两边对 y 求导： f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1 \implies (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
2. 关键条件
3. 严格单调性：确保反函数存在（一一映射）。
4. 导数非零：若 f'(x) = 0 ，反函数导数无定义（如 y = x^2 在 x=0 处）。

二、几何意义：对称性与切线斜率

1. 图像对称性 原函数 y = f(x) 与反函数 y = f^{-1}(x) 的图像关于直线 y = x 对称。
2. 切线斜率关系- 在原函数点 (x\_0, y\_0) 处，切线斜率为 f'(x_0) 。
3. 在反函数对应点 (y_0, x_0) 处，切线斜率为 (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} 。 几何解释： 原函数切线与 x -轴夹角 \alpha 和反函数切线与 y -轴夹角 \beta 满足 \alpha + \beta = 90^\circ ，故斜率互为倒数（\tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} ）。

三、反函数定理（多元推广）

1. 单变量情形 若 f 在点 p 可导且 f'(p) \neq 0 ，则存在邻域内反函数且可导。
2. 高维推广（雅可比行列式） 对向量值函数 \mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n ，若在点 p 的雅可比矩阵 J_{\mathbf{F}}(p) 可逆（行列式非零），则存在局部反函数且其雅可比矩阵为： J_{\mathbf{F}^{-1}}(\mathbf{F}(p)) = [J_{\mathbf{F}}(p)]^{-1}

四、典型应用与计算示例

案例 1：线性函数

• 原函数： y = 2x + 3 undefined 导数： f'(x) = 2
• 反函数： x = \frac{y-3}{2} undefined 导数： (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{2}

案例 2：指数与对数函数

• 原函数： y = e^x undefined 导数： f'(x) = e^x
• 反函数： x = \ln y undefined 导数： \frac{d}{dy} \ln y = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} （因 y = e^x ）

案例 3：二次函数（限定定义域）

• 原函数： y = x^2 （x \geq 0 ) 导数： f'(x) = 2x
• 反函数： x = \sqrt{y} undefined 导数： (f^{-1})'(y) = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}}

案例 4：反三角函数

• 反正弦函数： y = \arcsin x 推导：设 x = \sin y ，则 \frac{dx}{dy} = \cos y ，故 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
• 反正切函数： y = \arctan x 导数： \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

五、注意事项与限制

1. 定义域限制：- 非单调函数需限定区间（如 y = x^2 需 x \geq 0 )。
   • 反函数定义域由原函数值域决定（如 y = e^x 的反函数定义域为 y > 0 ）。
2. 导数不连续点： 若原函数导数不连续或为零（如 y = x^3 在 x=0 处 f'(0)=0 )，反函数导数不存在。
3. 高阶导数： 反函数的二阶导数公式： (f^{-1})''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} undefined表明反函数的凹凸性与原函数相反。

洛必达法则

一、核心定义与适用条件

1. 作用 洛必达法则用于求解未定式极限，即直接代入极限点会导致形式不确定的情况 （如 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} )。
2. 公式表述

若 \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 （或均为 \infty ），

且在 a 的去心邻域内 f(x) 和 g(x) 可导且 g'(x) \neq 0 ，

则：

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

前提是右侧极限存在或为\infty 。

1. 关键条件
2. 未定式类型：仅适用于 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 型。
3. 可导性：分子分母在极限点附近可导，且分母导数非零。
4. 极限存在性：求导后极限必须存在或为无穷大。

二、应用步骤详解

1. 验证类型 确认极限是否为 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} （如 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} 是 \frac{0}{0} 型）。
2. 分子分母分别求导 对分子 f(x) 和分母 g(x) 单独求导（非商法则）。
3. 计算新极限 求 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} ：- 若结果存在或为 \infty ，则为原极限； - 若仍为未定式，重复步骤1–2（如 \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} 需两次洛必达）。

示例：

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \xrightarrow{\text{求导}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

三、典型应用场景

1. 基本函数极限- 三角函数：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} （两次洛必达）。
   • 指数/对数：\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 。
2. 工程与AI中的实际应用- 神经网络梯度分析：Sigmoid 激活函数在 x \to \infty 时的梯度消失问题（\lim_{x \to \infty} \frac{d\sigma}{dx} = 0 ）。
   • 金融模型：期权定价中 Delta 希腊字母的极限行为（\lim_{S \to 0} \frac{\partial C}{\partial S} = 0 ）。
3. 物理与优化问题- 瞬时变化率：\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\text{spread}(t + \Delta t) - \text{spread}(t)}{\Delta t} 。

四、注意事项与常见误区

1. 禁用情况- 非未定式：如 \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x} （分母→0，分子→1）。
   • 导数极限不存在：如 \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} （求导后振荡，但原极限为1）。
   • 去心邻域不可导：如分段函数在间断点附近。
2. 操作误区- 盲目多次使用：若求导后非未定式则停止（例：\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} 首次洛必达后得 \infty ，无需继续）。
   • 忽略简化计算：结合等价无穷小（如 x \to 0 时 \sin x \sim x ）或分离非零因子简化。
3. 替代方法 当洛必达失效时，改用泰勒展开、夹逼定理或导数定义（如 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x f'(0)}{x^2} = \frac{f''(0)}{2} ）。

五、总结

通过合理应用，洛必达法则能高效解决微积分中的未定式极限，但需严格遵循条件并灵活结合其他工具（如泰勒公式）。

单变量函数微分核心函数与定理

一、需熟练掌握的函数类型

1. 基本初等函数

• 幂函数：- 形式：y = x^n （n 为实数） - 微分公式：\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} （如 y = x^4 的导数为 4x^3 )
• 指数与对数函数：- 指数函数：y = a^x → y' = a^x \ln a （特例：y = e^x 导数为 e^x ) - 对数函数：y = \ln x → y' = \frac{1}{x} ；y = \log_a x → y' = \frac{1}{x \ln a}
• 三角函数：- 正弦/余弦：\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ，\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x undefined - 正切：\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x
• 反三角函数：- y = \arcsin x → y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ；y = \arctan x → y' = \frac{1}{1+x^2}

2. 复合函数与特殊形式

• 复合函数：- 链式法则：若 y = f(g(x)) ，则 \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) （如 y = \sin(2x) 导数为 2\cos(2x) )
• 隐函数：- 由方程 F(x,y)=0 定义，求导需用隐微分法（如 x^2 + y^2 = 1 导数为 \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} )
• 参数方程：- 若 x = \phi(t) , y = \psi(t) ，则 \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)} （如椭圆参数方程求切线斜率）
• 分段函数：- 分段区间内分别求导，需验证分段点连续性（如f(x) = |x| 在 x=0 不可导）

二、需掌握的核心微分定理

1. 微分中值定理

• 费马引理：极值点处导数为零（局部极值必要条件）
• 罗尔定理：闭区间连续、开区间可导且端点值相等 → 存在导数为零的点
• 拉格朗日中值定理： f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a) \quad (\xi \in (a,b)) undefined 用于证明不等式或分析函数增量
• 柯西中值定理：推广至两函数比值形式，适用于洛必达法则推导

2. 导函数性质定理

• 导数的介值性（达布定理）： 若 f(x) 可导，则 f'(x) 具有介值性（即使不连续）
• 导数极限定理： 若 f'(x) 在 x_0 邻域存在且 \lim_{x \to x_0} f'(x) 存在，则 f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x) （导函数无第一类间断）

3. 微分计算与极限定理

• 洛必达法则： 解决 \frac{0}{0} 、\frac{\infty}{\infty} 型极限（如 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )
• 泰勒公式： 用多项式逼近函数，公式： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + R_n(x) undefined 用于近似计算或分析高阶导数影响