信号与系统新讲06-复指数

复指数定义

这是著名的 欧拉公式（Euler’s Formula），它揭示了复数指数和三角函数之间的关系。

几何意义：单位圆上的旋转

描述的是在复平面上 单位圆 上以角速度 逆时针旋转 的一个点。

实部 = ⇒ 对应水平方向；虚部 = ⇒ 对应垂直方向。

就像一个“频率为 ”的正弦波绕着复平面在转圈：

在傅里叶变换中，我们使用 去“扫描”和“匹配”信号中是否含有频率 的成分。

为什么用复指数而不是正弦/余弦？

复指数 同时包含了 余弦与正弦 成分；更重要的是：复指数是傅里叶变换中天然的“正交基”；在数学上： 在 时趋近于 0 ⇒ 正交性。

复指数与三角函数的联系

利用欧拉公式，我们有：

这意味着任何实信号（由正弦和余弦组成）都可以等价地表示成复指数的组合。

复指数的调制含义

在频域中，如果将信号乘以 ，这就是调制（调频或调相）操作。

：可以看作频率为 的“频率载体”；它允许我们将信号移至频谱的任意位置（频移性）。