数列极限存在的充要条件

云深之无迹

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可以从多个角度来理解，既有数学定义层面的，也有判别准则和性质层面的。

最基本的充要条件（定义）

微积分注1 关于数列和柯西数列

数列  极限存在的充要条件是：使得

这个是极限存在的ε-N定义，它既是必要条件也是充分条件。

从子数列角度：海涅定理

若所有趋于无穷的子数列  都收敛，且极限相同为 ，则原数列  也收敛于 。

充要条件表述为：

若  所有收敛子数列极限都相同，则  极限存在，且为该值。

单调有界准则（经典充要条件之一）

单调有界数列必有极限(函数极限也有）

如果数列 单调 且 有界，则极限存在。

即：

若  单调递增 且 有上界 ⇒ 极限存在；

若  单调递减 且 有下界 ⇒ 极限存在。

柯西收敛准则（Cauchy 判别法）

柯西极限存在准则

微积分严格化-柯西的数列极限

一个数列收敛的充要条件是它是一个柯西列（Cauchy sequence）。

即：存在

该判别法特别重要，因为它不依赖极限值 A，只用数列项之间的距离判定。

振荡性否定判别法（必要非充分）

若存在两个子数列极限不同 ⇒ 原数列极限不存在（反面判别）