以单变量函数为例进行导数定义的验证与计算

from __future__ import annotations

from fractions import Fraction

import sympy as sy

"""
导数的英文标准翻译是 derivative
    f(x) 的导数 -> derivative of f(x)
    f 在 x = a 处的导数 -> derivative of f at x equals a
    dy/dx (导数的莱布尼茨记号) -> dy dx (读音： “dee y by dee x”)
    求导 -> differentiation
    导数 (作为一个数学概念) -> derivative
"""

sy.init_printing(use_latex = True , use_unicode = True)

"""
验证单变量函数中导数(微分方程)的定义
"""
# 定义单变量函数 f(x) = sin(x)*x
param_x = sy.Symbol('x')
expr = sy.sin(param_x) * param_x
print(f'原函数 = {expr}， latex: {sy.latex(expr)}')
# 函数 x*sin(x) 的导数: x*cos(x) + sin(x)
derivative = sy.diff(expr , param_x)
print(f'导函数 = {derivative}， latex: {sy.latex(derivative)}')
# 首先直接求导数在 pi 处的极限
limit_at_pi_right = sy.limit(derivative , param_x , sy.pi , '+')  # 右极限
limit_at_pi_left = sy.limit(derivative , param_x , sy.pi , '-')  # 左极限
limit_at_pi = sy.limit(derivative , param_x , sy.pi , '+-')  # 极限
print(f'导数在 pi 处的右极限：{limit_at_pi_right}, 左极限:{limit_at_pi_left}, 极限值: {limit_at_pi}')
print(f'在 pi 处连续且导数存在:{limit_at_pi_right == limit_at_pi_left == limit_at_pi}')
# 定义 x 轴的偏移量 h
param_h = sy.Symbol('h')
# 原函数加上 h 得到新函数 delta
delta = expr.subs(param_x , param_x + param_h)
print(f'原函数加上 h 得到新函数 delta:{delta}, {sy.latex(delta)}')
# delta 函数中将 x 替换成具体的值 pi，此时 delta 中只有一个变量 h
delta_pi = delta.subs(param_x , sy.pi)
print(f'delta 函数中将 x 替换成具体的值 pi，此时 delta 中只有一个变量 h:{delta_pi}, {sy.latex(delta_pi)}')
# 原函数将 x 替换成具体的值 pi
expr_pi = expr.subs(param_x , sy.pi)
print(f'原函数将 x 替换成具体的值 pi 得到的常量值:{expr_pi}')
# delta 在 pi 处减去原导数函数再比上 h，此时值为原函数在 pi 处的导数值
ret_limit = (delta_pi - expr_pi) / param_h
print(f'delta 在 pi 处减去原函数再比上 h，此时值为原函数在 pi 处的导数值:{ret_limit}, {sy.latex(ret_limit)}')
# 当 h 趋近于 0 时得到最终的导数值
ret = sy.limit(ret_limit , param_h , 0 , '+-')
print(f'当 h 趋近于 0 时得到最终的导数值:{ret}, '
      f'导数值存在且正确:{ret == limit_at_pi == limit_at_pi_right == limit_at_pi_left}')

from __future__ import annotations , annotations

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sy

# ==================== 1. 数据生成 ====================
# 生成 x 轴数据（示例：从 0 到 2π，均匀取 200 个点）
x_begin = -10 * np.pi
x_end = 10 * np.pi
numbers_count = 2000
y_begin = -32
y_end = 32
title = 'function derivative curve'
curve_name = 'x*sin(x)'
x_label = 'x-axis'
y_label = 'y-axis'
x = np.linspace(x_begin , x_end , numbers_count)

# 定义单变量函数 f(x) = sin(x)*x
param_x = sy.Symbol('x')
expr = sy.sin(param_x) * param_x
print(f'原函数 = {expr}， latex: {sy.latex(expr)}')

# 函数 x*sin(x) 的导数: x*cos(x) + sin(x)
derivative = sy.diff(expr , param_x)
print(f'导函数 = {derivative}， latex: {sy.latex(derivative)}')

# 生成多个 y 函数（可根据需要添加/修改）
# 同时定义每个函数曲线的绘图风格
y_functions = {
    curve_name:  {
        'data': [ expr.subs(param_x , i) for i in x ] ,
        'style':{ 'color':'blue' , 'linestyle':'-' , 'linewidth':1 } ,
        } ,
    'derivative':{
        'data': [ derivative.subs(param_x , i) for i in x ] ,
        'style':{ 'color':'red' , 'linestyle':'-' , 'linewidth':1 } ,
        } ,
    }

# ==================== 高亮标记配置 ====================
# 情况1：直接指定 (x, y) 坐标点
highlight_points = [
    (-np.pi / 2 , expr.subs(param_x , -sy.pi / 2)) ,
    (-np.pi , expr.subs(param_x , -sy.pi)) ,
    (-3 * np.pi / 2 , expr.subs(param_x , -3 * sy.pi / 2)) ,
    (-4 * np.pi / 2 , expr.subs(param_x , -4 * sy.pi / 2)) ,
    (0 , 0) ,
    (np.pi / 2 , expr.subs(param_x , sy.pi / 2)) ,
    (np.pi , expr.subs(param_x , sy.pi)) ,
    (3 * np.pi / 2 , expr.subs(param_x , 3 * sy.pi / 2)) ,
    (4 * np.pi / 2 , expr.subs(param_x , 4 * sy.pi / 2)) ,
    ]

# ==================== 2. 创建画布和坐标系 ====================
fig , ax = plt.subplots(figsize = (10 , 6) , dpi = 100)

# ==================== 3. 绘制多条曲线 ====================
for curve_func in y_functions:
    y = y_functions[ curve_func ][ 'data' ]
    if 'style' in y_functions[ curve_func ]:
        style = y_functions[ curve_func ][ 'style' ]
        ax.plot(x , y , label = curve_func , **style)
    else:
        ax.plot(x , y , label = curve_func)

# ==================== 4. 添加高亮标记 ====================
if highlight_points:
    # 相当于将列表展开为： (0, 0), (np.pi/2, 1)
    # zip( (0, 0), (np.pi/2, 1) ) 会按列对齐元素，重组数据
    # 得到迭代器：
    # ( (0, np.pi/2), (0, 1) )
    x_cords , y_cords = zip(*highlight_points)
    ax.scatter(
            x_cords , y_cords ,
            color = 'red' , marker = 'o' , s = 100 ,
            edgecolor = 'black' , zorder = 10 ,
            label = 'Specific Points' ,
            )

# ==================== 5. 添加图表元素 ====================
ax.legend(loc = 'upper right')
ax.set_title(title , fontsize = 14 , pad = 20)
ax.set_xlabel(x_label , fontsize = 12)
ax.set_ylabel(y_label , fontsize = 12)

# ==================== 6. 自定义样式 ====================
ax.grid(True , linestyle = '--' , alpha = 0.6)
ax.set_xlim(x_begin , x_end)
ax.set_ylim(y_begin , y_end)
ax.tick_params(axis = 'both' , labelsize = 10)

# ==================== 7. 显示/保存 ====================
plt.tight_layout()
plt.show()

x = sy.symbols('x')

# 函数的常数倍
expr_1 = 7 * (x ** 2) + 100
print(f'函数: {expr_1} 的导数函数为: {sy.diff(expr_1 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_1 , x))}')

# 函数和与函数差
expr_2 = 3 * (x ** 5) - 2 * (x ** 2) + 7 / sy.sqrt(x) + 2
print(f'函数: {expr_2} 的导数函数为: {sy.diff(expr_2 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_2 , x))}')

# 通过乘积法则求积函数的导数
expr_3 = (x ** 5 + 2 * x - 1) * (3 * x ** 8 - 2 * x ** 7 - x ** 4 - 3 * x)
print(f'函数: {expr_3} 的导数函数为: {sy.diff(expr_3 , x)}, latex:{sy.latex(sy.diff(expr_3 , x))}')

expr_4 = (x ** 3 + 2 * x) * (3 * x + sy.sqrt(x) + 1)
print(f'函数: {expr_4} {sy.latex(expr_4)} 的导数函数为: {sy.diff(expr_4 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_4 , x))}')

# 通过商法则求商函数的导数
expr_5 = (2 * x ** 3 - 3 * x + 1) / (x ** 5 - 8 * x ** 3 + 2)
print(f'函数: {expr_5} {sy.latex(expr_5)} 的导数函数为: {sy.diff(expr_5 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_5 , x))}')

# 通过链式求导法则求复合函数的导数
expr_6 = (x ** 2 + 1) ** 99
print(f'函数: {expr_6} {sy.latex(expr_6)} 的导数函数为: {sy.diff(expr_6 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_6 , x))}')

expr_7 = (3 * x ** 7 + x ** 4 * (sy.sqrt(2 * x ** 5 + 15 * x ** Fraction(4 , 3) - 23 * x + 9))) / 6 * x ** 2 - 4
print(f'函数: {expr_7} {sy.latex(expr_7)} 的导数函数为: {sy.diff(expr_7 , x)}, latex: {sy.latex(sy.diff(expr_7 , x))}')