【优选算法篇】前缀之序，后缀之章：于数列深处邂逅算法的光与影

C++ 前缀和详解：基础题解与思维分析

前言

前缀和是一种经典的算法技巧，用于高效地计算数组的某一区间内的元素和。它通过预处理一个前缀和数组，将区间求和的问题转化为常数时间的查询操作。本篇博客将详细讲解前缀和的原理，并结合题目解析，让大家掌握这一高效的算法方法。

第一章：前缀和基础应用

1.1 一维前缀和模板题

题目链接：【模板】一维前缀和

题目描述：

给定一个长度为 n 的整数数组 arr 和 q 个查询，每个查询由两个整数 l 和 r 组成，表示区间 [l, r]。请计算出每个区间内所有元素的和。

示例 1：

• 输入：arr = [1, 2, 3, 4, 5], q = 2, 查询区间为 [(1, 3), (2, 4)]
• 输出：[6, 9]
• 解释：区间 [1, 3] 的元素和为 1 + 2 + 3 = 6，区间 [2, 4] 的元素和为 2 + 3 + 4 = 9。

提示：

• 1 <= n, q <= 100000
• -10000 <= arr[i] <= 10000

解法（前缀和）

算法思路：

a. 预处理前缀和数组：

使用 dp[i] 表示从数组起始位置到第 i 个元素的累加和。

递推公式为：

dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];

通过一次遍历即可构建前缀和数组，时间复杂度为 O(n)。

b. 利用前缀和快速计算区间和：

使用前缀和数组，可以在 O(1) 的时间内计算出任意区间 [l, r] 的和：

sum(l, r) = dp[r] - dp[l - 1];

这个公式的核心在于利用 dp[r] 存储了 [1, r] 区间的和，而 dp[l - 1] 则存储了 [1, l-1] 区间的和，二者相减即得 [l, r] 区间内的和。

图解分析

假设 arr = [1, 2, 3, 4, 5]，查询区间为 [(1, 3), (2, 4)]：

1. 前缀和数组构建：
   • dp[1] = arr[1] = 1
   • dp[2] = dp[1] + arr[2] = 1 + 2 = 3
   • dp[3] = dp[2] + arr[3] = 3 + 3 = 6
   • dp[4] = dp[3] + arr[4] = 6 + 4 = 10
   • dp[5] = dp[4] + arr[5] = 10 + 5 = 15
2. 查询区间和计算：
   • 对于区间 [1, 3]：sum(1, 3) = dp[3] - dp[0] = 6
   • 对于区间 [2, 4]：sum(2, 4) = dp[4] - dp[1] = 9

前缀和数组：

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 100010;
vector<long long> arr(N), dp(N); // 使用 vector 存储数组和前缀和
int n, q; // n 为数组大小，q 为查询次数

int main() 
{
    cin >> n >> q;

    // 读取数组元素
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> arr[i];

    // 构建前缀和数组，dp[i] 表示从 arr[1] 到 arr[i] 的累加和
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];

    // 处理每个查询
    while(q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        // 输出区间和 [l, r]
        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

易错点提示

1. 前缀和数组的下标范围：
   • dp[i] 表示从 arr[1] 到 arr[i] 的累加和，因此在构建前缀和数组时需要从 i = 1 开始，而非 0。读取 arr 时也应从 1 开始。
2. 边界条件处理：
   • 当 l = 1 时，dp[l - 1] 为 0。确保 dp[0] 初始化为 0，以避免边界查询时产生错误。
3. 数组长度与内存大小：
   • arr 和 dp 的长度都最少需要定义为 n+1 以确保不会越界。尤其在大规模数据时，需要合理定义 N 以避免内存溢出。

代码解读

在这段代码中，我们首先通过输入构建了原数组 arr 和相应的前缀和数组 dp。然后通过预处理后的 dp 数组，能够快速计算出任意查询区间 [l, r] 的和。 整个过程只需要 O(n) 的时间构建前缀和数组，再通过 O(1) 的时间解决每个区间和查询，使得在多次查询场景下效率非常高。

题目解析总结

前缀和是一种非常常用的算法技巧，特别是在处理区间求和问题时，能够显著优化计算效率。通过一次遍历构建前缀和数组，我们可以在后续查询中轻松地利用前缀和的特性，实现对任意区间的快速求和。 这道题作为前缀和的模板题，帮助我们掌握了前缀和的核心思想与基本操作。通过它，我们能为后续更复杂的区间问题打下坚实的基础。

1.2 二维前缀和模板题

题目链接：【模板】二维前缀和

题目描述：

给定一个大小为 n × m 的矩阵 matrix 和 q 个查询，每个查询由四个整数 x1, y1, x2, y2 组成，表示一个子矩阵的左上角 (x1, y1) 和右下角 (x2, y2)。请计算出每个子矩阵内所有元素的和。

示例 1：

• 输入：matrix = [[1, 2], [3, 4]], q = 1, 查询区间为 [(1, 1, 2, 2)]
• 输出：[10]
• 解释：子矩阵包含所有元素 1 + 2 + 3 + 4 = 10。

提示：

• 1 <= n, m <= 1000
• -10000 <= matrix[i][j] <= 10000

解法（二维前缀和）

算法思路：

类似于一维前缀和，我们可以预处理一个前缀和矩阵 sum，使得 sum[i][j] 表示从矩阵起点 (1, 1) 到位置 (i, j) 的所有元素的累加和。利用这个前缀和矩阵，可以在 O(1) 时间内求出任意子矩阵的和。

步骤分为两部分：

构建前缀和矩阵：

构建时，我们在矩阵的顶部和左侧添加一行和一列的 0，以简化边界处理。

前缀和矩阵的递推公式为：

sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];

利用前缀和矩阵计算子矩阵和：

对于左上角 (x1, y1) 和右下角 (x2, y2) 的查询，我们可以通过以下公式计算该子矩阵的和：

result = sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];

类比小学就学过的求面积

图解分析

假设 matrix = [[1, 2], [3, 4]]，q = 1，查询区间为 [(1, 1, 2, 2)]：

构建前缀和矩阵：

原始矩阵：

1  2
3  4

构建前缀和矩阵：

sum = 
0  0  0
0  1  3
0  4  10

查询子矩阵和：

对于 x1 = 1, y1 = 1, x2 = 2, y2 = 2：

result = sum[2][2] - sum[0][2] - sum[2][0] + sum[0][0] = 10 - 0 - 0 + 0 = 10

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() 
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;

    vector<vector<int>> matrix(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    vector<vector<long long>> sum(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0));

    // 读取矩阵数据
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }

    // 构建前缀和矩阵
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + matrix[i][j];
        }
    }

    // 处理查询
    while(q--) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        long long result = sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];
        cout << result << endl;
    }

    return 0;
}

易错点提示

1. 矩阵下标的处理：
   • 构建前缀和矩阵时，注意在 matrix 的基础上偏移一行和一列，以简化边界处理。查询时也需调整下标。
2. 前缀和公式理解：
   • 在计算 sum[i][j] 时，记得同时减去重复计算的 sum[i - 1][j - 1]。
3. 处理大规模输入：
   • 对于 n, m 较大的输入，使用 long long 类型存储累加和，以避免整数溢出。

代码解读

• 时间复杂度：前缀和矩阵的构建时间为 O(n * m)，每次查询时间为 O(1)，适用于大量查询场景。
• 空间复杂度：前缀和矩阵 sum 需要 O(n * m) 的额外空间。

题目解析总结

二维前缀和是处理矩阵区域和问题的利器，通过一次性构建前缀和矩阵，可以高效地解决任意子矩阵的求和问题。相比于逐个元素累加的方法，前缀和能大幅减少计算次数，使得算法在面对多次查询时表现更佳。

1.3 寻找数组的中⼼下标（easy）

题目链接：724. 寻找数组的中⼼下标

题目描述：

给你⼀个整数数组 nums ，请计算数组的 中⼼下标 。

数组 中⼼下标 是数组的⼀个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中⼼下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0，因为在下标的左侧不存在元素。这⼀点对中⼼下标位于数组最右端同样适⽤。

如果数组有多个中⼼下标，应该返回 最靠近左边 的那⼀个。如果数组不存在中⼼下标，返回 -1。

示例 1：

• 输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
• 输出：3
• 解释：
  • 中⼼下标是 3。
  • 左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，
  • 右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，⼆者相等。

示例 2：

• 输入：nums = [1, 2, 3]
• 输出：-1
• 解释：
  • 数组中不存在满⾜此条件的中⼼下标。

示例 3：

• 输入：nums = [2, 1, -1]
• 输出：0
• 解释：
  • 中⼼下标是 0。
  • 左侧数之和 sum = 0，（下标 0 左侧不存在元素），
  • 右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0。

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^4
• -1000 <= nums[i] <= 1000

解法（前缀和）

算法思路：

根据中⼼下标的定义，除了中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」。

因此，我们可以先预处理两个数组，一个表示前缀和，另一个表示后缀和。然后，通过遍历来找到满足条件的中⼼下标。

构建前缀和数组 lsum：

lsum[i] 表示 nums 从开始到位置 i - 1 的所有元素的和，即 [0, i - 1] 区间的累加和。

构建前缀和数组 lsum 的递推公式为：

lsum[i] = lsum[i - 1] + nums[i - 1];

构建后缀和数组 rsum：

rsum[i] 表示 nums 从位置 i + 1 到最后一个元素的所有元素的和，即 [i + 1, n - 1] 区间的累加和。

构建后缀和数组 rsum 的递推公式为：

rsum[i] = rsum[i + 1] + nums[i + 1];

枚举中⼼下标：

• 遍历数组，比较每个位置的前缀和 lsum[i] 和后缀和 rsum[i] 是否相等。如果相等，说明该位置就是中⼼下标，直接返回。
• 若遍历完成仍无满足条件的下标，则返回 -1。

图解分析

假设 nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]：

1. 前缀和数组构建：
   • lsum[0] = 0 （表示 nums 的左侧没有元素）
   • lsum[1] = lsum[0] + nums[0] = 0 + 1 = 1
   • lsum[2] = lsum[1] + nums[1] = 1 + 7 = 8
   • lsum[3] = lsum[2] + nums[2] = 8 + 3 = 11
   • lsum[4] = lsum[3] + nums[3] = 11 + 6 = 17
   • lsum[5] = lsum[4] + nums[4] = 17 + 5 = 22
2. 后缀和数组构建：
   • rsum[5] = 0 （表示 nums 的右侧没有元素）
   • rsum[4] = rsum[5] + nums[5] = 0 + 6 = 6
   • rsum[3] = rsum[4] + nums[4] = 6 + 5 = 11
   • rsum[2] = rsum[3] + nums[3] = 11 + 6 = 17
   • rsum[1] = rsum[2] + nums[2] = 17 + 3 = 20
   • rsum[0] = rsum[1] + nums[1] = 20 + 7 = 27
3. 查找中⼼下标：
   • 遍历过程中，发现 lsum[3] == rsum[3]，即下标 3 满足条件，因此输出 3。

前缀和、后缀和数组：

C++代码实现

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        // lsum[i] 表示 [0, i - 1] 区间的累加和
        // rsum[i] 表示 [i + 1, n - 1] 区间的累加和
        int n = nums.size();
        vector<int> lsum(n), rsum(n);

        // 预处理前缀和数组
        for(int i = 1; i < n; i++)
            lsum[i] = lsum[i - 1] + nums[i - 1];

        // 预处理后缀和数组
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
            rsum[i] = rsum[i + 1] + nums[i + 1];

        // 查找中⼼下标
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(lsum[i] == rsum[i])
                return i;
        }
        
        return -1;
    }
};

更简单的解法

该问题还可以通过更为简洁的解法实现，仅需一个变量记录累加的前缀和，节省空间。

优化思路：

遍历数组时，如果一个位置 i 满足 2 * 前缀和 + nums[i] == 总和，则它就是中心下标。其原理在于：

• 对于中心下标 i，数组的左侧和 tmp 与右侧和（总和 - tmp - nums[i]）相等。
• 即满足条件 2 * tmp + nums[i] == 总和。

优化后的 C++代码实现

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int totalSum = 0, tmp = 0;
        
        // 计算总和
        for(int num : nums) {
            totalSum += num;
        }

        // 遍历数组，判断中心下标条件
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if(2 * tmp + nums[i] == totalSum) {
                return i; // 找到中心下标
            }
            tmp += nums[i]; // 更新前缀和
        }

        return -1; // 没有找到中心下标
    }
};

易错点提示

1. 前缀和和后缀和的下标范围：
   • lsum[i] 表示 [0, i - 1] 区间累加和，而 rsum[i] 表示 [i + 1, n - 1] 区间累加和。因此，遍历中我们直接使用 lsum[i] == rsum[i] 即可判断条件。
2. 边界处理：
   • 若中心下标在数组最左端或最右端，需要确保对应的 lsum 或 rsum 是 0，这样才能保证正确的判断。
3. 多种中心下标：
   • 如果存在多个中心下标，返回最左边的那个，因此遍历时找到第一个满足条件的下标即返回。

代码解读

我们先通过遍历构建了 lsum 和 rsum 数组，然后再次遍历数组，找到第一个满足 lsum[i] == rsum[i] 的位置。

• 时间复杂度：O(n)，遍历数组的次数为常数次，适合于长度较大的数组。
• 空间复杂度：O(n)，额外的前缀和和后缀和数组 lsum 和 rsum。

对于优化后的解法：

• 时间复杂度：O(n)，仅需一次遍历。
• 空间复杂度：O(1)，只使用一个临时变量记录前缀和，显著节省了空间。

28. 除⾃⾝以外数组的乘积（medium）

题目链接：238. 除⾃⾝以外数组的乘积

题目描述：

给你⼀个整数数组 nums，返回数组 answer，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

题⽬数据保证数组 nums 中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位整数范围内。

请不要使⽤除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1：

• 输入：nums = [1, 2, 3, 4]
• 输出：[24, 12, 8, 6]

示例 2：

• 输入：nums = [-1, 1, 0, -3, 3]
• 输出：[0, 0, 9, 0, 0]

提示：

• 2 <= nums.length <= 10^5
• -30 <= nums[i] <= 30
• 保证数组 nums 中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位整数范围内。

进阶：你可以在 O(1) 的额外空间复杂度内完成这个题⽬吗？（出于对空间复杂度分析的⽬的，输出数组不被视为额外空间。）

解法（前缀积数组）

算法思路：

由于题目要求不能使用除法，同时要求 O(n) 的时间复杂度，因此我们不能用求出整个数组的乘积然后除以单个元素的方式求解。

可以利用前缀和思想，使用两个数组来记录每个元素的前缀积和后缀积，然后将两者相乘得到每个元素除自身以外的乘积。

定义前缀积数组 lprod：

lprod[i] 表示 nums 从开始到 i - 1 的所有元素的乘积，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的乘积。

构建前缀积数组 lprod 的递推公式为：

lprod[i] = lprod[i - 1] * nums[i - 1];

定义后缀积数组 rprod：

rprod[i] 表示 nums 从 i + 1 到数组末尾的所有元素的乘积，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的乘积。

构建后缀积数组 rprod 的递推公式为：

rprod[i] = rprod[i + 1] * nums[i + 1];

计算结果数组：

• 遍历 nums，计算每个位置 i 的结果 ret[i] 为 lprod[i] * rprod[i]。
• 因为 lprod[i] 包含的是 nums[0] 到 nums[i - 1] 的乘积，而 rprod[i] 包含的是 nums[i + 1] 到末尾的乘积，两者相乘即为除 nums[i] 外的所有元素乘积。

图解分析

假设 nums = [1, 2, 3, 4]，期望的结果为 [24, 12, 8, 6]：

1. 前缀积数组构建：
   • lprod[0] = 1 （初始条件，表示没有元素的乘积）
   • lprod[1] = lprod[0] * nums[0] = 1 * 1 = 1
   • lprod[2] = lprod[1] * nums[1] = 1 * 2 = 2
   • lprod[3] = lprod[2] * nums[2] = 2 * 3 = 6
2. 后缀积数组构建：
   • rprod[3] = 1 （初始条件，表示没有元素的乘积）
   • rprod[2] = rprod[3] * nums[3] = 1 * 4 = 4
   • rprod[1] = rprod[2] * nums[2] = 4 * 3 = 12
   • rprod[0] = rprod[1] * nums[1] = 12 * 2 = 24
3. 计算最终结果：
   • ret[0] = lprod[0] * rprod[0] = 1 * 24 = 24
   • ret[1] = lprod[1] * rprod[1] = 1 * 12 = 12
   • ret[2] = lprod[2] * rprod[2] = 2 * 4 = 8
   • ret[3] = lprod[3] * rprod[3] = 6 * 1 = 6

前缀积、后缀积数组：

C++代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> lprod(n, 1), rprod(n, 1), ret(n);
        
        // 构建前缀积数组
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            lprod[i] = lprod[i - 1] * nums[i - 1];
        }
        
        // 构建后缀积数组
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            rprod[i] = rprod[i + 1] * nums[i + 1];
        }
        
        // 计算结果数组
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            ret[i] = lprod[i] * rprod[i];
        }
        
        return ret;
    }
};

更简单的解法

优化思路：

我们可以进一步优化空间复杂度到 O(1)。通过仅使用一个 ret 数组来存储结果，并利用它保存前缀积，再遍历一次通过累积的后缀积来更新结果：

1. 计算前缀积并保存到 ret 中。
2. 遍历并乘以后缀积：在遍历过程中同时更新后缀积的值，使每个位置的结果在不需要额外的 lprod 和 rprod 数组的情况下得到。

优化后的 C++代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> ret(n, 1);
        
        // 计算前缀积
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            ret[i] = ret[i - 1] * nums[i - 1];
        }
        
        // 计算后缀积并更新结果
        int suffixProd = 1;
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            ret[i] *= suffixProd;
            suffixProd *= nums[i];
        }
        
        return ret;
    }
};

易错点提示

1. 初始条件：
   • lprod[0] 和 rprod[n-1] 都初始化为 1，表示没有元素的乘积。
2. 空间优化：
   • 优化解法中只使用 ret 数组存储前缀积，后续遍历时逐个乘以后缀积。
3. 避免溢出：
   • 题目保证元素乘积在 32 位整数范围内，但实际操作时要避免大数溢出，注意数据类型的使用。

代码解读

在此解法中，我们通过构建前缀积和后缀积的方式实现了在 O(n) 时间复杂度下计算每个位置的乘积。在优化方案中，通过巧妙地在结果数组中存储前缀积并逐步累加后缀积，实现了空间复杂度的优化。

• 时间复杂度：O(n)，无论是初始计算前缀积和后缀积，还是单次遍历，时间复杂度都为 O(n)。
• 空间复杂度：原方案为 O(n)，优化方案达到 O(1) 的额外空间复杂度。

写在最后

在这片数列的流动之中，我们从前缀和的入门，渐次深入，直抵算法思想的核心。四道基础题如同桥梁，串联起前缀和与后缀积的巧妙应用，从区间求和的简明优雅到排除自身后的乘积演算，每一步都指向数据处理的无限可能。这是算法的序曲，数字的暗涌，如流水般轻盈而深邃。随着思维渐入佳境，我们将在下篇中进一步探索数列的复杂美，揭开更深层的优化思路，与算法之光同行。