XM外汇官网：香农极限的基本原理

1.香农极限的基本原理

香农极限是信息论中的核心概念，由美国数学家克劳德・香农（Claude Shannon）在1948 年提出。它定义了在存在噪声的信道中，可靠通信的理论最大速率。理解香农极限需要从以下几个方面展开：

1.1 信道容量的基本概念

信道容量是指在保证信息传输差错率任意小的条件下，信道可能的最大信息传输速率。对于无噪声信道，容量仅受限于符号传输速率；而对于有噪声信道，容量则受到噪声干扰的限制。

1.2 加性高斯白噪声(AWGN)信道模型

在通信系统中，最常见的噪声模型是加性高斯白噪声(AWGN)信道。在此模型中，接收信号可表示为：

1.3 香农公式的推导

香农通过信息熵和互信息理论推导出，对于带宽为B Hz、信噪比为SNR的AWGN信道，其容量为：

log₂(1 + SNR) 的物理意义： 这部分代表单位带宽所能承载的最大无差错信息速率(bps/Hz)，也称为频谱效率的极限。它直接由信道的质量 SNR 决定。

SNR越高，信道质量越好，单位带宽能传的信息就越多。

在有噪声的情况下，只要信号功率不为零 (SNR > 0)，仍然可以传输信息。log₂(1 + SNR)的值总是大于0。

对数函数log₂反映了信息传输的非线性特性。SNR翻倍并不会使容量翻倍，而是使其增加一个小于翻倍的量。例如，SNR从1变到2，容量增加约1.58 倍；从10变到20，容量只增加约0.34倍。

B*log₂(1+SNR)的物理意义： 这代表了整个可用带宽 B 所能承载的总的无差错信息速率。它表明：带宽B和容量C成正比： 增加带宽可以直接提高最大传输速率。

功率S和容量C呈对数关系： 增加功率也能提高容量，但效果不如增加带宽那么显著（尤其是在高 SNR 时）。功率翻倍带来的容量增益随着 SNR 增大而减小。

它揭示了通信系统性能的绝对上限。无论你采用多么精巧的调制方式、编码方案或信号处理技术，只要你的信息传输速率 R 超过了信道容量C(R>C)，就不可能实现无差错传输（误码率不可能降到0）。反之，只要R<C，就存在某种编码方案（虽然可能非常复杂且时延大），使得误码率可以无限接近于0。

2.香农极限的 MATLAB 仿真

% 香农极限 (Shannon Limit) 仿真 - AWGN 信道

% 计算并绘制信道容量 (C/B) 和 Eb/N0 极限

% 参数设置

SNR_dB = -20:0.1:30; % 信噪比范围 (dB)

SNR_lin = 10.^(SNR_dB/10); % 线性信噪比

% 1. 计算香农容量 (频谱效率 η = C/B)

C_over_B = log2(1 + SNR_lin); % 单位: bps/Hz

% 2. 计算香农极限 (Eb/N0 min)

% 对于给定的 η (C/B), Eb/N0_min = (2^η - 1) / η

% 我们直接使用上面计算出的 η (C_over_B) 来计算其对应的 Eb/N0_min

% 注意: η=0 (C_over_B=0) 会导致分母为0，需要单独处理极限值 -1.59dB

EbN0_min = (2.^C_over_B - 1) ./ C_over_B;

EbN0_min_dB = 10*log10(EbN0_min); % 转换为 dB

% 处理 η->0 的极限点 (避免除以0)

% 找到 C_over_B 接近0的点 (但不为0)，计算其理论极限 -1.59dB

low_eta_index = find(C_over_B > 0.001, 1); % 找一个很小的非零η点

EbN0_min_dB(C_over_B < 0.001) = 10*log10(log(2)); % ≈ -1.59 dB

% 绘制频谱效率 (C/B) vs. SNR

figure(1);

subplot(2, 1, 1);

semilogy(SNR_dB, C_over_B, 'b-', 'LineWidth', 2);

grid on;

xlabel('信噪比 (SNR) [dB]');

ylabel('频谱效率 \eta = C/B [bps/Hz]');

title('香农信道容量 (AWGN)');

ylim([1e-3, 1e2]);

% 绘制香农极限 (Eb/N0 min) vs. 频谱效率 (η)

subplot(2, 1, 2);

plot(C_over_B, EbN0_min_dB, 'r-', 'LineWidth', 2);

grid on;

hold on;

% 标记香农绝对极限点 (-1.59 dB)

plot(0, 10*log10(log(2)), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r');

text(0.5, -1.2, '\leftarrow 香农极限 (-1.59 dB, \eta=0)', 'FontSize', 10);

xlabel('频谱效率 \eta = R/B [bps/Hz]');

ylabel('最小所需 E_b/N_0 [dB]');

title('香农极限 (AWGN 信道)');

ylim([-2, 25]);

xlim([0, 12]); % 显示常用频谱效率范围

figure(2);

plot(SNR_dB, 10*log10(SNR_lin ./ C_over_B), 'g--', 'LineWidth', 1.5); % 实际Eb/N0 = SNR / (C/B)

grid on;

xlabel('SNR [dB]');

ylabel('E_b/N_0 [dB]');

title('实际 Eb/N0 for Capacity Operation');

legend('Eb/N0 at Capacity');

测试结果如下：

实际通信系统使用各种信道编码（纠错码）来对抗噪声，使系统的性能尽可能接近香农极限。不同的编码方案有不同的纠错能力和复杂度。

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