【愚公系列】2023年08月 3D数学-向量和标量

一、向量和标量

1.向量

向量是一个有方向和大小的量，可以用箭头来表示。在数学和物理中，向量通常用一组有序实数表示。例如，二维平面上的向量可以表示为 (x,y)，其中 x 和 y 分别表示向量在水平和垂直方向上的大小。向量可以用于表示位置、速度、加速度、力、磁场等物理量。在计算机科学中，向量常用于图形学、机器学习和计算机视觉等领域。

1.1 向量的表示方法

1、代数表示

向量代数表示是一种将向量表示为符号和数学运算的方法。在向量代数表示中，向量通常用一个小写字母加粗体或一个带箭头的小写字母表示。例如，向量a可以表示为a或者

。下面介绍一些常用的向量代数运算符号：

1. 加法：向量加法表示为两个向量对应元素相加的操作，例如：

1. 减法：向量减法表示为两个向量对应元素相减的操作，例如：

1. 数量乘法：数量乘法表示为将一个向量的每个元素乘以一个标量的操作，例如：

1. 点积：点积是一种将两个向量投影到彼此上的运算，表示为

，计算公式为：

点积计算结果是一个标量，可用于计算两个向量之间的夹角或者计算向量在某个方向上的投影长度。

1. 叉积：叉积是一种向量积，用于计算两个向量所确定的平面的法向量，表示为

，计算公式为：

叉积计算结果是一个向量，可用于计算两个向量所确定平面的法向量的方向和大小。

1. 模长：模长是指一个向量的长度或大小，表示为

，计算公式为：

向量代数表示广泛应用于各种科学和工程领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。

2、几何表示 向量几何是数学中研究向量的性质和运算的分支。它可以用于解决很多几何问题，比如点与线、平面、空间中的位置关系，直线与平面的交点、距离等问题。

在向量几何中，向量通常被表示为有方向的线段，它有起点和终点，并且可以用坐标表示。例如，在平面直角坐标系中，向量

的坐标表示为

。其中

为向量的起点，

为向量的终点。表示为带箭头的符号

，箭头方向指向向量终点。

向量之间可以进行加、减、数乘等运算。例如，向量

表示从

到

的向量，

表示从

到

的向量。数乘运算表示将向量长度乘以一个实数

，例如

表示向量

的长度乘以

倍。

几何中的一些基本概念和定理可以用向量表示。例如，平面上的三点

，如果向量

和

不共线，则它们构成一个三角形

。三角形的重心、垂心、外心等可以用向量表示求解。

向量可以用向量点乘和向量叉乘来计算它们的夹角和在平面或空间中的面积和体积。向量点乘的结果是一个实数，表示两个向量的在同一方向上的投影的乘积，

。向量叉乘的结果是一个向量，长度等于两个向量构成的平行四边形面积，方向垂直于这个平行四边形（由两个向量构成的平面），

。其中

是

和

的夹角，

是垂直于

和

所在平面的单位法向量。

向量几何广泛应用于工程、物理和计算机科学等领域中，例如图形学、计算机视觉、机器学习等。

3、矩阵（行列式）表示

向量可以用矩阵来表示，称为向量矩阵表示。在向量矩阵表示中，向量用一个列矩阵表示，每个元素表示向量中对应的分量。

例如，三维向量[1,2,3]可以表示为如下的列矩阵：

[1] [2] [3]

向量的加法和数乘也可以用矩阵表示。设有向量a和向量b，那么它们的矩阵表示分别为：

a = [a1,a2,a3]T b = [b1,b2,b3]T

其中，T表示转置操作，即将行矩阵转换成列矩阵。则有：

a + b = [a1+b1, a2+b2, a3+b3]T

k * a = [ka1, ka2, k*a3]T

其中，k为实数。

向量的点乘也可以用矩阵表示。设有向量a和向量b，那么它们的点乘表示为：

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

也可以写成矩阵形式：

a · b = [a1 a2 a3] [b1] [b2] [b3]

向量矩阵表示在线性代数中有着广泛的应用，例如线性变换、矩阵运算等。

2.标量

标量是一个只有大小（或数量）而没有方向的物理量。在数学和物理学中，标量通常用一个数字或字母表示，它们不需要指定方向，因为它们没有方向。例如，温度、时间、距离、体积、密度、质量、电荷等物理量都是标量。与之相反的是矢量，它具有大小和方向，例如速度、加速度、力、位移、磁场强度等。

3.向量乘标量

在向量代数中，向量乘标量是一个基本的操作，它可以用来缩放向量的大小或方向。具体来说，当我们将一个向量 v 乘以一个标量 k 时，我们将 v 中的每个分量都乘以 k，从而得到一个新的向量 kv。

向量乘标量的结果是一个新的向量，其大小和方向都与原始向量成比例。具体来说，如果 v 是一个三维向量 [x, y, z]，那么 kv 就是一个新的向量 [kx, ky, kz]，其中 kx、ky 和 kz 分别是 x、y 和 z 与标量 k 的乘积。因此，向量 kv 的大小是原始向量 v 的大小乘以标量 k 的绝对值，向量 kv 的方向与原始向量相同（除非 k 为负数，这会翻转向量的方向）。

向量乘标量的乘法具有结合律和分配律：

1、结合律：

对于标量 a 和向量 v，b 为另一个标量，则有：

(a*b)*v = a*(b*v)

这意味着，我们可以改变乘法的顺序，先乘 a 和 b ，再乘以向量 v，或先乘 b 和向量 v，再乘以标量 a，最终得到的结果是相同的。

2、分配律：

对于标量 a 和 b，向量 v 和 w，则有：

(a+b)*v = a*v + b*v

a*(v+w) = a*v + a*w

这意味着，我们可以在乘法之前进行加法运算，或在加法之前进行乘法运算，最终得到的结果是相同的。

这些性质让我们可以在向量计算中方便地组合多个标量和向量，而不用考虑它们之间的顺序。例如，假设我们要将向量 v1、v2 和 v3 分别乘以标量 a、b 和 c，然后将它们相加，可以使用分配律和结合律将这个表达式简化为：

a*v1 + b*v2 + c*v3

这使得向量计算更加简单和方便。

向量乘标量的应用非常广泛，它可以用来进行向量的缩放，调整向量的大小和方向，生成新的向量等操作。例如，在计算机图形学中，我们经常需要对对象进行缩放，可以利用向量乘标量来实现。同样，在物理学和工程学中，向量乘标量也有许多应用，例如力和速度的计算等。