【回文串DP】最长回文子串 / 分割回文串 II / 让字符串成为回文串的最少插入次数

_小羊_

发布于 2025-04-09 00:47:48

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回文子串

回文子串

定义 dp[i][j] 表示 [i, j] 区间内的字符串是否是回文子串，i <= j，要特别注意填表顺序。

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = i; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                if (dp[i][j]) ret++;
            }
        }
        return ret;
    }
};

最长回文子串

最长回文子串

一边填dp表，一边统计最长的回文子串。

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int begin = 0, len = 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > len) 
                {
                    len = j - i + 1;
                    begin = i;
                }
            }
        return s.substr(begin, len);
    }
};

分割回文串 IV

分割回文串 IV

class Solution {
public:
    bool checkPartitioning(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
            for (int j = 0; j < n - 1; j++)
                if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][n - 1])
                    return true;
        return false;
    }
};

分割回文串 II *

分割回文串 II

定义状态 dp[i] 表示0-i区间符合要求的最少分割次数。

如果 j - i 是回文子串，则 dp[i] = dp[j - 1] + 1；后面的+1表示分割一次。

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;
        vector<int> dp(n, INT_MAX);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;
            else
            {
                for (int j = 1; j <= i; j++)
                    if (isPal[j][i])
                        dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

最长回文子序列

最长回文子序列

定义状态 dp[i][j] 表示区间 i到j 范围内的所有子序列中，最长回文子序列的长度。当首尾两个元素「相同」的时候，也就是s[i] == s[j] ：那么[i, j] 区间上的最长回文子序列，应该是[i + 1, j - 1] 区间内的那个最长回文子序列首尾填上s[i] 和s[j] ，此时dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2.

当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])。

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            dp[i][i] = 1;
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

让字符串成为回文串的最少插入次数

让字符串成为回文串的最少插入次数

定义状态 dp[i][j] 表示让i到j区间称为回文串的最小插入次数。

i == j 时不用考虑，在初始化dp表的时候其中的值默认为0，所以直接在 j = i + 1 处开始遍历；i + 1 == j 可以放在 i + 1 < j 中，因为 dp[i + 1][j - 1] 访问的是 i + 1 == j 的左下角，这个位置刚好用不到，默认也为0。

当 s[i] != s[j] 时，我们假定在i的左边插入一个s[j]，或在j的右边插入一个s[i]，然后就可以在 dp[i][j - 1] 或 dp[i + 1][j] 中找最小操作次数。

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};