并查集（Union-Find Set）课程笔记

1. 并查集原理

• 并查集用于处理需要将不同元素划分成若干不相交集合的问题。最开始时，每个元素都是单独的一个集合，随后根据需要将这些集合合并。
• 每个元素被分配一个集合，而随着操作的进行，集合间的合并会更新元素所属的集合。
• 并查集支持以下操作：
  • 查找元素属于哪个集合。
  • 判断两个元素是否属于同一个集合。
  • 合并两个集合。

下面是一个并查集的例子：

2. 并查集操作：

• 查找操作（Find）： 用于确定某个元素属于哪个集合，最终找到集合的代表元素（根）。
• 合并操作（Union）： 将两个集合合并成一个集合。
• 统计操作（Count）： 返回当前集合的个数。

3. 并查集实现：

• 使用数组表示集合，其中负数表示集合的根，绝对值表示该集合的元素个数。
• FindRoot 方法通过递归查找找到集合的根元素。
• Union 方法将两个集合合并，通常通过将一个集合的根指向另一个集合的根来完成。

4. 并查集应用：

• 问题 1：省份数量（省份计数）
  • 该问题要求根据给定的连接矩阵（isConnected）计算省份的数量。每个省份可以看作一个连接的子图，使用并查集来合并和查找每个城市所在的省份。
• 问题 2：等式可满足性（Equations Possible）
  • 该问题检查一组包含 "==" 和 "!=" 条件的方程是否能满足，使用并查集将相等的变量归为同一集合，然后检查不等式条件是否冲突。

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