【初阶数据结构】树型数据的勘探：树

1.树的概念及结构

1.1 什么是树？

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

🚩有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

🚩除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

🚩因此，树是递归定义的

🔥值得注意的是： 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

学习堆和二叉树前，首先要理清其所有专业名词和相关概念

🚩结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度，即一个节点连接了几个子节点就是有几个度； 如上图：A 的为 6

🚩叶结点或终端结点：度为 0 的结点称为叶结点，即没有子节点的节点； 如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点

🚩非终端结点或分支结点：度不为 0 的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点

🚩双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A 是 B 的父结点

🚩孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B 是 A 的孩子结点

🚩兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C 是兄弟结点

🚩树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

🚩结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；

🚩树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4

🚩堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I 互为兄弟结点

🚩结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A 是所有结点的祖先

🚩子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

🚩森林：由 m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的结构及应用

树的结构相对于线性表来说就复杂了许多，其多条分支之间的关系，就注定了其存储表示比较麻烦

表示方法：

1. 双亲表示法
2. 孩子表示法
3. 孩子双亲表示法
4. 孩子兄弟表示法

常用的表示方法有孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	 struct Node* firstChild1;    // 第一个孩子结点
	 struct Node* pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
	 DataType data;               // 结点中的数据域
};

以由上到下，然后每一层从左到右的方法链接节点

因此树通常用于表示文件系统的目录树结构

2.二叉树的概念及结构

2.1 什么是二叉树？

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常被称为左子树和右子树。二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，这是二叉树与普通树结构的重要区别之一

🔥值得注意的是：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树分为五种情况：

空二叉树： 没有任何节点的二叉树

只有根节点的二叉树： 整个树只有一个根节点，没有左子树和右子树

只有左子树的二叉树： 除了根节点外，根节点只有左子树，没有右子树

只有右子树的二叉树： 除了根节点外，根节点只有右子树，没有左子树

既有左子树又有右子树的二叉树： 根节点同时拥有左子树和右子树

根据这些情况，有两种特殊的二叉树：

1. 满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是

，则它就是满二叉树

1. 完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。简单来说就是前 K-1 层都是满的，最后一层要从左到右是连续的要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.2 二叉树的性质

利用错位相减法可以简单算出一下二叉树的性质

🚩高度为 h 的满二叉树，有

个节点

🚩高度为 h 的完全二叉树，其节点个数范围是[

，

]

🚩对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为

, 度为 2 的分支结点个数为

,则有

＝

＋1（简单来说就是度为0永远比度为2多一个，每增加一个度为2的就会增加一个度为0的，增加度为1的不影响）

🚩具有n个结点的满二叉树的深度为 h =

🚩对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

1. 若 i > 0，i 位置结点的双亲序号：(i-1) / 2；i = 0，i为根结点编号，无双亲结点
2. 若2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n 否则无左孩子
3. 若2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n 否则无右孩子

有这么一道经典题目： 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ） A n B n+1 C n-1 D n/2

解析：

2.3 二叉树的存储

2.3.1 顺序存储（堆）

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

2.3.2 链式存储（二叉树）

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链