【机器学习】深入无监督学习分裂型层次聚类的原理、算法结构与数学基础全方位解读，深度揭示其如何在数据空间中构建层次化聚类结构

引言

分裂型层次聚类（Divisive Hierarchical Clustering，简称DHC）是一种自上而下的聚类方法，它通过从一个包含所有数据点的大簇开始，逐步将其分裂成更小的簇，直到每个簇只包含一个数据点或满足某个停止条件为止。与自下而上的凝聚型层次聚类（Agglomerative Hierarchical Clustering）不同，分裂型层次聚类的过程是逐步分裂而非逐步合并。 好的，让我们更加深入和详细地探讨 分裂型层次聚类（Divisive Hierarchical Clustering），包括算法的每一步、公式的推导过程，以及如何具体实施分裂型聚类的数学框架。

分裂型层次聚类（Divisive Hierarchical Clustering）

分裂型层次聚类是一种自上而下的聚类方法，其基本思想是从一个包含所有数据点的簇开始，逐步将该簇划分为更小的子簇，直到每个子簇包含一个数据点为止。每次分裂时，选择一个簇进行分裂，直到达到停止条件。

1. 基本原理

分裂型层次聚类的核心思路是自上而下的聚类过程：

1. 初始化：将所有数据点放在一个簇中，即把整个数据集视为一个簇。
2. 选择分裂点：在每一轮分裂时，选择一个簇并将其分裂为两个子簇。分裂的标准可以基于某些度量（如最小化误差平方和，SSE）。
3. 分裂操作：通过某种方法（如K-means聚类、主成分分析等）将选择的簇分成两个子簇。
4. 递归分裂：对每一个新的簇重复执行分裂操作，直到满足停止条件（如簇的大小小于某个阈值）。

2. 分裂型层次聚类的算法步骤

分裂型层次聚类算法可以通过以下步骤描述：

C_k^{(2)}

Step 1: 初始化

• 将所有数据点视为一个单一的簇 C0C_0（包含所有数据点）。

Step 2: 选择分裂的簇

• 选择一个簇 CkC_k（通常选择数据量较大的簇）进行分裂。

Step 3: 执行分裂操作

• K-means：对簇

C_k

应用 K-means 算法，将其分成两个簇

C_k^{(1)}

和

C_k^{(2)}

。 K-means算法目标是最小化以下误差平方和（SSE）：

其中：

N_k

和

M_k

分别是簇

C_k^{(1)}

和

C_k^{(2)}

中数据点的数量。

\mu_1

和 μ2\mu_2 分别是

mu_2

和 Ck(2)C_k^{(2)} 的均值。

• 其他分裂方法可能包括基于**主成分分析（PCA）或高斯混合模型（GMM）**来选择分裂方式。

Step 4: 计算分裂后的效果

• 通过计算簇间的距离或相似度来评估当前分裂的质量。常用的距离度量包括欧几里得距离、曼哈顿距离等。 欧几里得距离：

d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}

其中 x 和 y 是两个数据点，n 是数据的维度。

Step 5: 递归进行分裂

• 对每一个新的子簇

C_k^{(1)}

和

C_k^{(2)}

继续进行分裂操作，直到每个簇只有一个数据点，或直到满足某个终止条件（如簇内的数据点数小于阈值）。

Step 6: 构建树形结构

• 每次分裂会生成一个新节点，这些节点将会构成一个树形层次结构（如一棵二叉树）。根节点表示整个数据集，叶节点表示单个数据点。

分裂型层次聚类数学描述与公式

1. 簇内误差平方和（SSE）： 对于簇

C_k

，它的SSE是数据点到簇中心（均值）的距离的平方和：

\text{SSE}(C_k) = \sum_{i \in C_k} \| x_i - \mu_k \|^2

其中：

x_i

是簇

C_k

中的一个数据点。

\mu_k

是簇

C_k

的均值（中心点）。

1. 分裂操作： 使用 K-means 算法来分裂簇

C_k

。K-means 目标是最小化每个簇的 SSE，总体SSE最小化目标为：

\text{SSE}_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{K} \text{SSE}(C_k)

其中 KK 是簇的数量。每次分裂操作都会选择一种方法（如 K-means）来最小化当前簇的 SSE，从而实现最优的分裂。

1. 簇间距离： 分裂型层次聚类有时还会考虑簇间的相似度或距离来指导分裂，常用的度量包括：
   • 最小距离法（Single Linkage）：簇间的距离是两个簇中最小距离的点对之间的距离。
   • 最大距离法（Complete Linkage）：簇间的距离是两个簇中最远点对之间的距离。
   • 平均距离法（Average Linkage）：簇间的距离是两个簇内所有点对的平均距离。

3. 优缺点

优点：

• 直观的层次结构：分裂型层次聚类自然生成树形结构，能够很好地展示数据的层次关系。
• 不需要预设簇的数量：与 K-means 等方法不同，分裂型层次聚类不需要预设簇数，用户可以根据树状图的层次决定聚类数量。
• 适合具有层次结构的数据：如果数据本身存在较明显的层次结构，分裂型层次聚类能够很好地捕捉这种结构。

缺点：

• 计算复杂度较高：每次分裂时都需要计算簇内数据点的距离，这在数据量大时计算代价较高，特别是在簇数较多时。
• 对噪声敏感：如果数据中包含大量噪声点，分裂型层次聚类可能会错误地进行分裂，导致不合理的聚类结果。

5. 示例

假设我们有一个二维数据集：

{(1,2),(1,3),(10,10),(10,11)}\{(1, 2), (1, 3), (10, 10), (10, 11)\}

1. 初始簇：将所有点视为一个簇 C0={(1,2),(1,3),(10,10),(10,11)}C_0 = \{(1, 2), (1, 3), (10, 10), (10, 11)\}。
2. 第一步分裂：
   • 使用 K-means 对簇 C0C_0 进行分裂，分裂为两个簇：
     • 簇1：{(1, 2), (1, 3)}
     • 簇2：{(10, 10), (10, 11)}
3. 递归分裂：
   • 对簇1进行分裂，数据点之间距离很近，无法再分裂。
   • 对簇2进行分裂，同样，数据点之间距离很近，无法继续分裂。

最终得到的聚类结果为两个簇：

• 簇1：{(1, 2), (1, 3)}
• 簇2：{(10, 10), (10, 11)}

下面是一个简单的分裂型层次聚类算法的 Python 代码实现。该实现基于 K-means 聚类算法来分裂每个簇，并递归地进行分裂，直到每个簇包含一个数据点为止。

4.分裂型层次聚类 Python 代码实现

在这个实现中，我们使用了 scikit-learn 库中的 KMeans 聚类算法。你需要安装 scikit-learn 库来运行以下代码。

pip install scikit-learn

Python 代码实现

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算簇内误差平方和 (SSE)
def compute_sse(X, labels, centers):
    sse = 0
    for i in range(len(centers)):
        cluster_points = X[labels == i]
        sse += np.sum((cluster_points - centers[i]) ** 2)
    return sse

# K-means 分裂操作
def split_cluster(X, cluster):
    kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=42).fit(X[cluster])
    labels = kmeans.labels_
    centers = kmeans.cluster_centers_
    sse = compute_sse(X[cluster], labels, centers)
    return labels, centers, sse

# 分裂型层次聚类主函数
def divisive_hierarchical_clustering(X, min_cluster_size=1):
    clusters = [np.arange(len(X))]  # 初始簇包含所有数据点
    tree = []  # 保存分裂的层次结构
    while len(clusters) > 0:
        # 从簇列表中选择一个簇进行分裂
        current_cluster = clusters.pop(0)
        
        # 如果簇的大小小于最小簇大小，则停止分裂
        if len(current_cluster) <= min_cluster_size:
            continue

        # 对当前簇进行 K-means 分裂
        labels, centers, sse = split_cluster(X, current_cluster)
        
        # 将分裂结果添加到层次树中
        tree.append((current_cluster, labels, centers))

        # 根据分裂结果生成两个新的子簇
        cluster1 = current_cluster[labels == 0]
        cluster2 = current_cluster[labels == 1]

        # 将子簇加入待分裂簇的列表
        clusters.append(cluster1)
        clusters.append(cluster2)

    return tree

# 绘制数据点及其聚类结果
def plot_clusters(X, tree):
    for i, (cluster, labels, centers) in enumerate(tree):
        plt.figure(figsize=(6, 6))
        plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c='gray', alpha=0.5, label="All Data Points")
        plt.scatter(X[cluster, 0], X[cluster, 1], c=labels, cmap='viridis', label=f'Cluster {i + 1}')
        plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='x', s=200, label='Centroids')
        plt.legend()
        plt.title(f"Cluster {i + 1} with K-means split")
        plt.show()

# 示例数据生成
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成随机数据
X, _ = make_blobs(n_samples=100, centers=3, random_state=42)

# 调用分裂型层次聚类算法
tree = divisive_hierarchical_clustering(X, min_cluster_size=5)

# 绘制每一步的聚类结果
plot_clusters(X, tree)

代码解析

1. compute_sse：计算给定簇内的误差平方和（SSE），用来衡量聚类质量。
2. split_cluster：对一个簇应用 K-means 算法，将其分裂成两个子簇。返回每个子簇的标签、质心和SSE。
3. divisive_hierarchical_clustering：实现了分裂型层次聚类的核心功能。首先将所有数据点作为一个大簇进行分裂，接着通过递归方法将簇分裂成更小的簇，直到每个簇的大小小于指定的最小簇大小（min_cluster_size）。
4. plot_clusters：绘制每一步的聚类结果，展示不同层次分裂的效果。

主要步骤：

• 初始时，所有数据点都属于一个簇。
• 递归地对每个簇进行 K-means 分裂，直到簇内的数据点数小于 min_cluster_size。
• 在每次分裂后，保存每个簇的结果和分裂过程。

示例输出

在执行代码时，程序将会生成数据点并通过分裂型层次聚类进行分裂，最后绘制出每一步分裂后的聚类效果。每一张图展示了数据点如何在每一轮分裂过程中被分配到不同的簇中，同时标出每个簇的质心。

总结

这个代码展示了如何通过 K-means 聚类方法实现 分裂型层次聚类。每次分裂都是基于当前簇的质心，通过最小化误差平方和（SSE）来划分成两个子簇。你可以通过调整 min_cluster_size 参数来控制分裂的停止条件，进而决定最终聚类的数量。