01背包问题

01背包问题/动态规划（快速入门）

前言：背包问题是dp（动态规划）经典入门题目集合，里面的01背包问题也是一切的起点，作者当初学习此算法的时候，把各种教学视频看了十几遍，加上老师的讲解，还有很多博客，最后还是一知半解，但是随着时间积累，慢慢的在许久之后明白了这个算法，这也是我的一个学习算法的建议，在入门一个算法的时候，不必短时间内理解它的含义，记住模板，然后在未来的某个时刻，会理解它的。

以题目入门

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

提交代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m; // 物品的数量，背包的容积
int v[N], w[N]; // v是每个物品体积的数组，w是每个物品价值的数组
int f[N][N];  

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
    for (int  i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j <= m; ++ j)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

解析

我给的代码是一个01背包问题的标准模板，下面的便是我对该模板的解释。

首先对题目分析，有N件物品，和一个容器为V的背包,，然后每件物品只能拿一次，然后每件物品的体积和价值不一样，求怎么拿才是价值最大的，这也是一个很现实的问题。

f[n][m]是什么意思了，拿f[i][j]的意思为，意思很简单，就是对于容量为i，背包容量为j的时候，最大的价值是多少。

关键代码：

for (int  i = 1; i <= n; ++ i)
{
    for (int j = 0; j <= m; ++ j)
    {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
    }
}
cout << f[n][m] << endl;

最后输出f[n][m]的含义是，当物品数量为n和背包容积为m的时候，最大的价值。

然后外面的两层for循环是枚举，n，m的情况，其实dp问题可以很简单，主要是需要找到对应的数学表达式，这个肯定比高中数学题目简单。

这个题目的数学表达式是什么了。

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])

f[i - 1][j]的含义为：当物品数量为i-1,然后背包容量为j（这里代表的是第i件物品不选）的时候的最大价值，如果第i件物品不选的话，

那么f[i][j]就直接等于f[i - 1][j]。

f[i - 1][j - v[i]] + w[i]的含义为：相比于f[i - 1][j]区别在于，他选了第i件，第i件的体积大小为v[i],然后价值为w[i],因为选了

第i件所以j-v[i],体积变小了，然后对于他的价值多了w[i]。

所以每次最后的表达式就是f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])，只是需要注意的是，j不一定每次大于v[i],

为了防止数组下标小于0，所以需要一个if判断一下.