红黑树实现
1.红黑树的概念
红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。 通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路 径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。
1.1 红黑树的规则：
1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊
2. 根结点是⿊⾊的
3. 如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的 红⾊结点。
4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点
说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点 不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了 ⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道 ⼀下这个概念即可。
1.2 思考⼀下，红⿊树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍的？
由规则4可知，从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的⿊⾊结点，所以极端场景下，最短路径 就就是全是⿊⾊结点的路径，假设最短路径⻓度为bh(black height)。
由规则2和规则3可知，任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点，所以极端场景下，最⻓的路径就是⼀ ⿊⼀红间隔组成，那么最⻓路径的⻓度为2*bh。
综合红⿊树的4点规则⽽⾔，理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都 存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x，那么bh <= h <= 2*bh。
1.3 红黑树的效率：
假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么 2^h − 1 <= N < 2 ^2∗h − 1, 由此推出 h ≈ logN，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 ，那么时间复杂度还是 。 2 ∗ logN O(logN)
红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜 ⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格
2. 红黑树的实现
2.1 红黑树的结构
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2 红黑树的插⼊
2.2.1 红黑树树插⼊⼀个值的⼤概过程
1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树 插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是 红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种 情况分别处理。
说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为 g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）。
2.2.2 情况1：变⾊
c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相 当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新 是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束 了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊。
情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。
跟AVL树类似，图0我们展⽰了⼀种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。
图1将以上类似的处理进⾏了抽象表达，d/e/f代表每条路径拥有hb个⿊⾊结点的⼦树，a/b代表每 条路径拥有bh-1个⿊⾊结点的根为红的⼦树，bh>=0。
图2/图3/图4，分别展⽰了hb == 0/hb == 1/hb == 2的具体情况组合分析，当hb等于2时，这⾥组合 情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理⽅式⼀样的，变⾊再 继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可
2.2.3 情况2：单旋+变⾊
c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上 来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解 决问题，需要旋转+变⾊。
如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新 的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊
⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新 的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
如果p是g的右，c是p的右，那么以g为旋转点进⾏左单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新 的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊ ⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
这里u要么是黑色要么不存在如果是红色则变色的时候已经处理过了。
2.2.4 情况2：双旋+变⾊
c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上 来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解 决问题，需要旋转+变⾊。
如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变 ⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且 不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变 ⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且 不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
2.3.红黑树的插入代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
//链接父节点
cur->_parent = parent;
cur->_col = RED;
//父亲是红色，出现链接的红色节点，需要处理
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
// g
// p u
//u可能为空,避免空指针解引用(叔叔)
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
cur->_col = BLACK;
}
break;
}
}
// 叔叔不存在，或者存在且为黑
else
{
// g
// u p
// 叔叔存在且为红，-》变色即可
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上更新
cur = grandfather;
parent = grandfather->_parent;
}
// 叔叔不存在，或者存在且为黑
else
{
// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
cur->_col = grandfather->_col = RED;
}
// g
// u p
// c
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
}2.4 红黑树的查找
按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.5 红黑树的验证
这⾥获取最⻓路径和最短路径，检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的，因为就算满⾜这个条 件，红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则，当前暂时没出问题，后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还 是去检查4点规则，满⾜这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。
1. 规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
2. 规则2直接检查根即可
3. 规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检 查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
4. 规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到 ⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}
if (_root->_col == RED)
{
return false;
}
//参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
++blackNum;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}不理解的可以看如下的递归展开图
2.6 红黑树的删除
红⿊树的删除本章节不做讲解，有兴趣的友友们可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》中讲解。
3.测试代码即所有代码实现
测试用例
#include "RBTree.h"
void TestRBTree1()
{
RBTree<int, int> t;
// 常规的测试用例
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
// 特殊的带有双旋场景的测试用例
/*int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };*/
for (auto e : a)
{
t.Insert({ e, e });
}
t.InOrder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}
int main()
{
TestRBTree1();
return 0;
}
所有代码如下：
#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
//链接父节点
cur->_parent = parent;
cur->_col = RED;
//父亲是红色，出现链接的红色节点，需要处理
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
// g
// p u
//u可能为空,避免空指针解引用(叔叔)
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
cur->_col = BLACK;
}
break;
}
}
// 叔叔不存在，或者存在且为黑
else
{
// g
// u p
// 叔叔存在且为红，-》变色即可
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上更新
cur = grandfather;
parent = grandfather->_parent;
}
// 叔叔不存在，或者存在且为黑
else
{
// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
cur->_col = grandfather->_col = RED;
}
// g
// u p
// c
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}
if (_root->_col == RED)
{
return false;
}
//第四种
//参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
private:
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
++blackNum;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};结束语：
红黑树是一种自平衡的二叉查找树，具有以下特点：
- 平衡性：通过红黑规则确保树的高度保持在 O(log n)，避免退化成链表，保证高效的查找操作。
- 颜色规则：每个节点要么是红色，要么是黑色，并遵循特定的规则，如根节点必须是黑色，红色节点不能相邻，路径从任意节点到其子孙节点的黑色节点数相等。
- 旋转操作：通过左旋和右旋调整节点位置，保持树的平衡。
红黑树广泛应用于需要高效查找和动态更新数据的场景，如 C++ 的map 和 set，Java 的 TreeMap 和 TreeSet 等。
最后谢谢大家的支持，如有不对的地方还请各位大佬不吝指正
腾讯云开发者
