浮点数与IEEE 754标准浅谈

浮点数是一种用于表示实数的数值表示形式，它使计算机能够处理非常大的或非常小的数值。例如，在科学计算中，我们经常需要处理像 6.022 × 10^23 这样的数字，使用浮点数表示可以极大地提高计算的灵活性和效率。

浮点数与IEEE 754标准浅谈_IEEE754

一、浮点数基础

浮点数允许计算机表示范围远超整数，适用于处理科学、工程和财经等领域中大范围数值。浮点数的形式化定义如下：

浮点数可以表示为：

浮点数与IEEE 754标准浅谈_杂谈_02

• sign：符号位，指示数值的正负
• mantissa(尾数或有效数字)：具体的数字部分
• exponent(指数)：控制数值范围的指数部分

浮点数与IEEE 754标准浅谈_单精度_03

1.浮点数表示

例如，我们想表示数值 -6.75，可以将其分解为：

1. 符号位 (sign)：由于值为负，所以符号位为 1。
2. 尾数 (mantissa)：6.75 可以表示为二进制 110.11，规范化为 1.1011 × 2^2。
3. 指数 (exponent)：为了存储，须调整成偏移量表示。这里偏移量对于单精度为 127，因此指数为 2 + 127 = 129，其二进制表示为 10000001。

最终，-6.75的单精度浮点数表示为：

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1 | 10000001 | 10110000000000000000000

• 1.

2.浮点数的存储

在计算机内存中，浮点数以二进制方式存储：

• 单精度浮点数(32位)：
• 1 bit 符号位
• 8 bits 指数
• 23 bits 尾数
• 双精度浮点数(64位)：
• 1 bit 符号位
• 11 bits 指数
• 52 bits 尾数

因为尾数位数增加，双精度浮点数的表示范围和精度都要高于单精度浮点数。

二、IEEE 754标准的细节

1.数据格式

IEEE 754支持不同的浮点格式，包括但不限于：

1. 单精度 (32 位)

• 符号位 (1位)
• 指数 (8位)
• 尾数 (23位)

1. 双精度 (64 位)

• 符号位 (1位)
• 指数 (11位)
• 尾数 (52位)

1. 扩展精度，例如 80 位用于某些硬件架构(如 x86 架构)。

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2.指数表示

IEEE 754采用偏移量表示法来存储指数值。这意味着实际二进制指数值需要加上一个常数(偏移量)，以便能表示负值。例如：

• 单精度指数的偏移量为 127。因此，实际指数加上 127，得到偏移后的值进行存储。
• 双精度指数的偏移量为 1023。

这种方法使得可以用无符号整型存储负数的指数。

3.IEEE 754规格化

步骤 1: 确定符号位

• 符号位(Sign bit, S)决定浮点数是正数还是负数。如果数为正，则符号位为 0；如果为负，则符号位为 1。

步骤 2: 将十进制数转换为二进制数

• 将整个十进制数部分转换为二进制。如果存在小数部分，可以采用以下两种方法：
• 整数部分：通过不断除以 2，记录每次的余数，直到结果为 0，然后反向排列得到二进制数。
• 小数部分：通过不断乘以 2，记录每次的整数部分(0 或 1)，直到达到所需的精度或达到预定的迭代次数。

步骤 3: 规范化二进制数

• 所得的二进制数需要进行规范化：
• 将二进制数表示为 (1.x \times 2^E) 的形式，其中 1 是隐含的(即不需要写出来)，x 是小数部分。

例如：

• 二进制数：1010.101 规范化为 1.010101 × 2^3，指数 E = 3。

步骤 4: 计算偏移量并确定指数

• 根据选择的浮点格式，确定偏移量。对于：
• 单精度(32位)：偏移量为 127。
• 双精度(64位)：偏移量为 1023。
• 将规范化后的指数 (E) 加上偏移量，计算出最终的存储指数 (E_{biased})。

例如：

• 如果 (E = 3)(单精度)，则 (E_{biased} = 3 + 127 = 130)。

步骤 5: 生成指数位

• 将 (E_{biased}) 转换为二进制，得到相应的指数位。
• 对于单精度浮点数，使用 8 位来存储指数位；对于双精度浮点数，使用 11 位。

例如：

• (130) 的二进制为 10000010(对于单精度)。

步骤 6: 生成尾数(有效数字)

• 尾数是规范化后1.x 部分的小数部分。将其转换为二进制并填充到规定的位数：
• 单精度：后面有 23 位。
• 双精度：后面有 52 位。
• 尾数不包含隐含的 1。

例如：

• 对于 1.010101，尾数为 010101，后面补 0 补齐到 23 位。

步骤 7: 组合成最终的 IEEE 754 表示

• 将符号位、指数位和尾数组合在一起，形成最终的 IEEE 754 位模式。

例如，对于一个负数 -10.625，转换为 IEEE 754 单精度的过程如下：

1. 符号位 S = 1(负数)。
2. 二进制表示：-10.625 = -1010.101。
3. 规范化：1.010101 × 2^3。
4. 计算偏移量： (E_{biased} = 3 + 127 = 130)。
5. 指数位：10000010。
6. 尾数：01010100000000000000000。
7. 最终组合：1 10000010 01010100000000000000000。

4.舍入模式

在浮点数运算中，舍入至关重要，因为任何非精确的小数都需要处理。IEEE 754标准定义了多个舍入模式：

1. 向最接近的偶数舍入(默认)：例如，0.5会向下舍入，2.5将向下转换为2。
2. 向零舍入(截断)：总是舍去小数部分，不论其大小。
3. 向上舍入：总是向上舍入，保留绝对值更大的数。
4. 向下舍入：总是向小数部分更小的数舍去。

1)向最近偶数舍入(Round to Nearest, Even)

这一模式是IEEE 754的默认舍入方式。它会将结果舍入到最接近的可表示的数值。如果结果正好位于两个可表示数之间，则选择尾数为偶数的那个数。

示例

考虑将数字 2.5 舍入到最接近的单精度浮点数：

• 2.5 在二进制中为 10.1。它的最近可表示的浮点数是 3.0 (11.0) 和 2.0 (10.0)。
• 由于 2.5 在两个数之间，最终结果应该舍入到 2(即 10.0)并保持尾数为偶数。

另一个例子：

• 3.5 舍入为偶数的可表示数位受限于 3.0 和 4.0(11.0 和 100.0)，因此最终结果是 4.0。

2)向零舍入(Round towards Zero)

这一模式始终舍弃小数部分，而只是简单地保留整数部分。这种方式计算结果每次都向零方向靠拢。

示例

• 对于 3.7，向零舍入将结果变为 3.0。
• 对于 -3.7，结果则变为 -3.0。

此模式不考虑后续的数字，因此有时可能导致小数部分的丢失。

3)向正无穷舍入(Round towards +∞)

这种模式总是向上舍入。无论是正数还是负数，都将结果“提升”到下一个可表示的数值。

示例

• 对于 3.2，向正无穷舍入结果为 4.0。
• 对于 -3.2，在向正无穷舍入的过程中，会得到 -3.0。

向正无穷舍入的特点是无论数值的符号如何，结果总是朝着绝对值较大的方向。

4)向负无穷舍入(Round towards -∞)

这种模式总是向下舍入。无论是正数还是负数，其结果总是“降低”到下一个可表示的数值。

示例

• 对于 3.7，向负无穷舍入结果为 3.0。
• 对于 -3.7，结果则会舍入至 -4.0。

这种舍入方式有助于处理一些需要保持保守估计的场合，尤其在金融领域比较常见。

这些不同的舍入模式确保在浮点运算中选择合适的方法处理结果，有助于减少误差。

5.异常处理

IEEE 754标准定义了浮点运算中的多种异常情况及其应对方式，包括：

• 溢出 (Overflow)：当结果的绝对值超出所能表示的范围时，比如极大的数字相乘。
• 下溢 (Underflow)：当结果太接近零而无法准确表示时，例如，极小的数字相乘。
• 无穷大 (Infinity)：除以零的操作会产生无穷大，使程序能够检测到这些异界情况。
• 无效数 (NaN)：例如，0/0操作会产生一个“不是一个数字”的状态，帮助程序避免继续进行后续计算。

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三、浮点数的局限性

尽管IEEE 754标准规范了浮点数的表示与运算，但仍存在显著的局限性：

1.精度限制

由于尾数位数有限，某些数值无法被精确表示。例如，十进制数 0.1 在二进制中是一个无限的循环小数。浮点计算经常会导致累积误差：

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a = 0.1 + 0.2
print(a) # 结果通常不会是 0.3，而是一个接近 0.3 的值。

• 1.
• 2.

2.表示范围

IEEE 754浮点数能够表示的数值范围是有限的。单精度浮点数的最大值约为 3.4 × 10^38，处理更大范围数值时，必须使用双精度浮点数。溢出会导致错误，因此在开发软件时要谨慎。

3.性能开销

浮点运算通常比整数运算慢得多，还有额外的存储开销，尤其在资源有限的嵌入式系统中，这可能会造成性能瓶颈。