数据结构-复杂度

从本期开始,我们将开始数据结构的学习，我会定期将我学习的内容这里上传到博客中，欢迎大家和我一起学习！

一、什么是数据结构和算法

1.1 数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

1.2算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

我个人认为，学习C语言就像学习英语一样，学了英语之后我只是有了和美国人沟通的方法，只是我要学他们的知识，英语就是一个媒介，那C语言也是一样的，学会了C语言之后，我们只是有了和电脑沟通的能力，但是还有许多许多的东西需要学才能成为一个合格的程序猿。数据结构就是我们成为程序猿的“基础物理”，学习的过程注定是无聊的，各位一定要忍住内心的躁动，认真打代码，总有学成归来的那一刻，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！

二、时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

也就是说，我们把程序执行的次数来大体描述为程序的时间复杂度，即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

举个例子：请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
		printf("%d\n", count);
}

不难看出，当输入为N的时候，count = N^2 + 2 * n + 10，这里的count其实就是程序执行的次数

N = 10， count = 130

N = 100， count = 10210

N = 1000， count = 100210

在实际计算中我们不需要计算的那么精确，因此我们就只需要算个大概的次数就行了，也就是当N趋于无穷的时候，表达式的取值，用O(N)表示，那么面那个例题就是O(N) = N^2，这里用到的就是大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

N = 10， count = 100

N = 100， count = 10000

N = 1000， count = 100000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外在有些算法中存在最好、平均、和最怀的情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

在实际运用中，一般用最坏情况的时间复杂度（你和你女朋友决定去看电影，你最好情况可以17:00到电影院门口，平均情况可以在18:00到，最慢也可可以在19:00到，你觉得你敢和你女朋友月19:00之前的时间喵？）

2.3 常见时间复杂度计算举例

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

func2时间复杂度为：O(N)

void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

func3时间复杂度为：O(M+N)

void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

func4的时间复杂度为：O(1)

三、空间复杂度

空间复杂度就相对简单了一些，顾名思义，它就是函数运行的时候临时占用存储空间大小的量度

举几个栗子：

//计算冒泡排序的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

显然，在冒泡排序中，函数只创建了“ * a ” 、 “ n ” 和 “ exchange”三个变量，因此他的空间复杂度为：O(1)

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

这里函数调用了n次，创建了n个变量，因此空间复杂度为O( n )

四、复杂度的练习

4.1 消失的数字

数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

这个题最容易想出来的方法就是，先给整个数组排序，再遍历整个数组，找到缺失的那个数字，但是，这样光排序的时间复杂度就是O(n^2)了，不符合题意

正确的解法是：将数组中的所有值都和0~n这个数组按位异或“ ^ ”，这样我们只需要遍历一次数组就好啦

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int i  = 0;
    int ret = 0;
    for (i = 0;i < numsSize+1; i++)
    {
        ret ^= i;
    }
        for (i = 0;i < numsSize; i++)
    {
        ret ^= nums[i];
    }

    return ret;
}

4.2 轮转数组

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

void  turn(int *nums, int sta, int end)
{
    while(sta < end)
    {
        int tmp = nums[sta];
        nums[sta] = nums[end];
        nums[end] = tmp;
        sta++;
        end--;
    }
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    if(k > numsSize)
    {
        k %= numsSize;
    }
    turn(nums, 0, numsSize - k-1);
    turn(nums, numsSize-k, numsSize-1);
    turn(nums, 0, numsSize-1);
}

学习总是枯燥无味的，但是只要我们能坚持下来，总能让我们距离梦想更近一步！

给个三连吧~