二维费用背包问题

2的n次方

发布于 2024-11-19 08:52:15

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1. 一和零

474. 一和零

题目中是在一个字符串数组中找出一个最大子集，满足 0 和 1 的个数不超过给定的值，这和之前的背包问题不一样的是，这里有两个限制条件，也就是二维费用背包问题，同时，这道题也是一道 01 背包的模型

状态表示：

dp[i][j][k] 表示，在前 i 个物品中挑选，字符 0 的个数不超过 j ，字符 1 的个数不超过 k ，所有选法中最大的子集长度

状态转移方程：

还是可以分为选和不选第 i 个元素，如果不选的话，那么 dp[i][j][k] 的状态就还是上一个状态，也就是 dp[i - 1][j][k] ，如果选的话，是需要保证 j >= a 并且 k >= b，然后才能更新为 dp[i - 1][j - a][k - b] + 1，由于题目中是求最大的子集，所以这两种情况还需要求出最大值（第二种情况存在时）

初始化：使用 j 和 k 时，是需要判断的，所以这两列就不用初始化了，当 i = 0 时，也就是字符串数组为空，找出子集，所以 i = 0 时，这一面就都是0 了

填表顺序：由于需要用到 i - 1 的状态，所以需要保证 i 从小到大遍历，然后再从小到大遍历 j 和 k

返回值：dp[len][m][n]

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][][] dp = new int[len + 1][m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            int a = 0, b = 0;
            for (int x = 0; x < strs[i - 1].length(); x++) {
                if (strs[i - 1].charAt(x) == '0')
                    a++;
                else
                    b++;
            }
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                for (int k = 0; k <= n; k++) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if (j >= a && k >= b) {
                        dp[i][j][k] = Math.max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - a][k - b] + 1);
                    }
                }
            }
        }
        return dp[len][m][n];
    }
}

空间优化：

二维费用的背包问题的优化和一维的是一个道理，把第一列的删掉就可以了

2. 盈利计划

879. 盈利计划

状态表示：

还是参考二维费用背包问题的状态表示方法

dp[i][j][k] 表示从前 i 个计划中选，总人数不超过 j ,总利润至少为 k ，有多少种选法

状态转移方程：

还是分为选和不选第 i 个元素，如果不选就是继承上一个状态 dp[i - 1][j][k]，如果选，由于总人数不能超过 j ，是需要 j >= g[i] 的，也就是 j - g[i] 不能小于 0，而总利润至少为 k ，所以 k - p[i] 是可以小于 0 的，但是数组的下标也不能是负的，所以可以把总利润至少为（之前的负数）改为总利润至少为 0，题中求的是总的方案数，所以最终结果是这两种情况的和

初始化：由于填表是从下标为 1 开始的，所以把下标为 0 初始化一下即可，当 i = 0 时，也就是没有任务，此时的利润也是 0 ，所以不管用多少人数限制是多少，总利润都是 0，需要初始化的也就是人数 j 这一列，方案数都是 1（什么都不选），dp[0][j][0] 都是 1

填表顺序：和上一题一样，只需要保证 i 是从小到大即可

class Solution {
    public int profitableSchemes(int n, int m, int[] g, int[] p) {
        int len = g.length;
        int[][][] dp = new int[len + 1][n + 1][m + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++)
            dp[0][j][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                for (int k = 0; k <= m; k++) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if (j >= g[i - 1]) {
                        dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - g[i - 1]][Math.max(0, k - p[i - 1])];
                    }
                    dp[i][j][k] %= (int) (1e9 + 7);
                }
            }
        }
        return dp[len][n][m];
    }
}

空间优化：

空间优化还是去掉第一列，由于是 01 背包模型，所以之后的循环都是降序