相似矩阵：换个角度看矩阵

相似矩阵可以理解为同一个线性变换在不同坐标系下的矩阵表示。

有一张地图，可以用不同的坐标系来表示上面的位置。比如，可以用经纬度来表示，也可以用直角坐标系来表示。虽然坐标系不同，但是地图上表示的地理位置是相同的。

一个房间，可以用不同的坐标系来描述房间里的物体。可以用地毯的左下角作为原点，地毯的边作为坐标轴；也可以用房间的中心作为原点，房间的墙作为坐标轴。虽然坐标系不同，但房间里的物体并没有改变。

相似矩阵就是线性代数中的这种“不同坐标系下的同一张地图”。

如果对于两个n阶方阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得：

B = P^(-1)AP

那么我们称矩阵A和B相似。

直观理解：

• P：可以看作是坐标系的变换矩阵。
• P^(-1)AP：就是将矩阵A从原来的坐标系变换到新的坐标系中，得到矩阵B。
• 相似矩阵：本质上是同一个线性变换在不同坐标系下的表示。

相似矩阵的性质

1. 相似矩阵具有相同的特征值。 虽然特征向量可能不同，但特征值是固有的，不会因为坐标系的变换而改变。
2. 相似矩阵具有相同的行列式。 行列式反映了线性变换对空间的缩放比例，这个比例不会因为坐标系的变换而改变。
3. 相似矩阵具有相同的迹。 迹是矩阵主对角线元素的和，它也具有不变性。

这里出现了一个迹，矩阵的迹（trace）是指方阵主对角线上的所有元素之和。通常用tr(A)表示矩阵A的迹。

缩放因子之和： 矩阵的迹可以看作是矩阵对空间进行线性变换时，在各个主方向上的缩放因子之和。

对于一个n阶方阵A，其元素为a(i,j)，则矩阵A的迹定义为：

tr(A) = a(1,1) + a(2,2) + ... + a(n,n)

• 线性性：
  • tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c * tr(A)，其中c为常数
• 循环置换不变性：
  • tr(AB) = tr(BA)
  • 对于多个矩阵的乘积，只要乘积的顺序不变，循环改变乘积的顺序，迹的值不变。
• 迹等于特征值之和： 矩阵的迹等于其所有特征值的和（按代数重数计算）。
• 只有方阵才有迹

相似矩阵与对角化的关系，矩阵的对角化：化繁为简的艺术