【Python】Math--数学函数（详细附解析~）

🍔 数论与表示函数

• math.ceil(x) 返回 x 的向上取整，即大于或等于 x 的最小的整数。如果 x 不是浮点数，委托给 x.__ceil__ ，它应该返回一个 Integral 的值。
• math.comb(n, k) 返回不重复且无顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数。当 k <= n 时取值为 n! / (k! * (n - k)!)；当 k > n 时取值为零。也称为二项式系数，因为它等价于 (1 + x)ⁿ 的多项式展开中第 k 项的系数。如果任一参数不为整数则会引发 TypeError。 如果任一参数为负数则会引发 ValueError。3.8 新版功能.
• math.copysign(x, y) 返回一个基于 x 的绝对值和 y 的符号的浮点数。在支持带符号零的平台上，copysign(1.0, -0.0) 返回 -1.0.
• math.fabs(x) 返回 x 的绝对值。
• math.factorial(n) 将 n 的阶乘作为整数返回。 如果 n 不是正数或为负值则会引发 ValueError。3.9 版后已移除: 接受具有整数值的浮点数 (例如 5.0) 的行为已被弃用。
• math.floor(x) 返回 x 的向下取整，小于或等于 x 的最大整数。如果 x 不是浮点数，则委托给 x.__floor__ ，它应返回一个 Integral 值。
• math.fmod(x, y) 返回 fmod(x, y) ，由平台C库定义。请注意，Python表达式 x % y 可能不会返回相同的结果。C标准的目的是 fmod(x, y) 完全（数学上；到无限精度）等于 x - n*y 对于某个整数 n ，使得结果具有 与 x 相同的符号和小于 abs(y) 的幅度。Python的 x % y 返回带有 y 符号的结果，并且可能不能完全计算浮点参数。 例如， fmod(-1e-100, 1e100) 是 -1e-100 ，但Python的 -1e-100 % 1e100 的结果是 1e100-1e-100 ，它不能完全表示为浮点数，并且取整为令人惊讶的 1e100 。 出于这个原因，函数 fmod() 在使用浮点数时通常是首选，而Python的 x % y 在使用整数时是首选。
• math.frexp(x) 以 (m, e) 对的形式返回 x 的尾数和指数。 m 是一个浮点数， e 是一个整数，正好是 x == m * 2**e 。 如果 x 为零，则返回 (0.0, 0) ，否则返回 0.5 <= abs(m) < 1 。这用于以可移植方式“分离”浮点数的内部表示。
• math.fsum(iterable) 返回可迭代对象中的值的精确浮点总计值。 通过跟踪多个中间部分和来避免精度损失。该算法的准确性取决于IEEE-754算术保证和舍入模式为半偶的典型情况。在某些非Windows版本中，底层C库使用扩展精度添加，并且有时可能会使中间和加倍，导致它在最低有效位中关闭。有关待进一步讨论和两种替代方法，参见 ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation。
• math.gcd(*integers) 返回给定的整数参数的最大公约数。 如果有一个参数非零，则返回值将是能同时整除所有参数的最大正整数。 如果所有参数为零，则返回值为 0。 不带参数的 gcd() 返回 0。3.5 新版功能.**在 3.9 版更改: 添加了对任意数量的参数的支持。 之前的版本只支持两个参数。
• math.isclose(a, b, ***, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0) 若 a 和 b 的值比较接近则返回 True，否则返回 False。根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。rel_tol 是相对容差 —— 它是 a 和 b 之间允许的最大差值，相对于 a 或 b 的较大绝对值。例如，要设置5％的容差，请传递 rel_tol=0.05 。默认容差为 1e-09，确保两个值在大约9位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。abs_tol 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 abs_tol 必须至少为零。如果没有错误发生，结果将是： abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol) 。IEEE 754特殊值 NaN ， inf 和 -inf 将根据IEEE规则处理。具体来说， NaN 不被认为接近任何其他值，包括 NaN 。 inf 和 -inf 只被认为接近自己。3.5 新版功能.参见 PEP 485 —— 用于测试近似相等的函数
• math.isfinite(x) 如果 x 既不是无穷大也不是NaN，则返回 True ，否则返回 False 。 （注意 0.0 被认为 是 有限的。）3.2 新版功能.
• math.isinf(x) 如果 x 是正或负无穷大，则返回 True ，否则返回 False 。
• math.isnan(x) 如果 x 是 NaN（不是数字），则返回 True ，否则返回 False 。
• math.isqrt(n) 返回非负整数 n 的整数平方根。 这就是对 n 的实际平方根向下取整，或者相当于使得 a² ≤ n 的最大整数 a。对于某些应用来说，可以更适合取值为使得 n ≤ a² 的最小整数 a ，或者换句话说就是 n 的实际平方根向上取整。 对于正数 n，这可以使用 a = 1 + isqrt(n - 1) 来计算。3.8 新版功能.
• math.lcm(*integers) 返回给定的整数参数的最小公倍数。 如果所有参数均非零，则返回值将是为所有参数的整数倍的最小正整数。 如果参数之一为零，则返回值为 0。 不带参数的 lcm() 返回 1。3.9 新版功能.
• math.ldexp(x, i) 返回 x * (2**i) 。 这基本上是函数 frexp() 的反函数。
• math.modf(x) 返回 x 的小数和整数部分。两个结果都带有 x 的符号并且是浮点数。
• math.nextafter(x, y, steps=1) 返回从 x 到 y 的步数的浮点值 steps。如果 x 等于 y，则返回 y，除非 steps 值为零。示例：math.nextafter(x, math.inf) 的方向朝上：趋向于正无穷。math.nextafter(x, -math.inf) 的方向朝下：趋向于负无穷。math.nextafter(x, 0.0) 趋向于零。math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x)) 趋向于零的反方向。另请参阅 math.ulp()。在 3.12 版更改: 增加了 steps 参数。3.9 新版功能.
• math.perm(n, k=None) 返回不重复且有顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数。当 k <= n 时取值为 n! / (n - k)!；当 k > n 时取值为零。如果 k 未指定或为 None，则 k 默认值为 n 并且函数将返回 n!。如果任一参数不为整数则会引发 TypeError。 如果任一参数为负数则会引发 ValueError。3.8 新版功能.
• math.prod(iterable, ***, start=1) 计算输入的 iterable 中所有元素的积。 积的默认 start 值为 1。当可迭代对象为空时，返回起始值。 此函数特别针对数字值使用，并会拒绝非数字类型。3.8 新版功能.
• math.remainder(x, y) 返回 IEEE 754 风格的 x 相对于 y 的余数。对于有限 x 和有限非零 y ，这是差异 x - n*y ，其中 n 是与商 x / y 的精确值最接近的整数。如果 x / y 恰好位于两个连续整数之间，则将最接近的 偶数 用作 n 。 余数 r = remainder(x, y) 因此总是满足 abs(r) <= 0.5 * abs(y)。特殊情况遵循IEEE 754：特别是 remainder(x, math.inf) 对于任何有限 x 都是 x ，而 remainder(x, 0) 和 remainder(math.inf, x) 引发 ValueError 适用于任何非NaN的 x 。如果余数运算的结果为零，则该零将具有与 x 相同的符号。在使用IEEE 754二进制浮点的平台上，此操作的结果始终可以完全表示：不会引入舍入错误。3.7 新版功能.
• math.sumprod(p, q) 两个可迭代对象 p 和 q 中的值的乘积的总计值。如果输入值的长度不相等则会引发 ValueError。大致相当于：sum(itertools.starmap(operator.mul, zip(p, q, strict=True)))对于浮点数或混合整数/浮点数的输入，中间的乘积和总计值将使用扩展精度来计算。3.12 新版功能.
• math.trunc(x) 返回去除小数部分的 x ，只留下整数部分。 这样就可以四舍五入到0了： trunc() 对于正的 x 相当于 floor() ，对于负的 x 相当于 ceil() 。如果 x 不是浮点数，委托给 x.__trunc__ ，它应该返回一个 Integral 值。
• math.ulp(x) 返回浮点数 x 的最小有效比特位的值:如果 x 是 NaN (非数字)，则返回 x。如果 x 为负数，则返回 ulp(-x)。如果 x 为正数，则返回 x。如果 x 等于零，则返回 去正规化的 可表示最小正浮点数 (小于 正规化的 最小正浮点数 sys.float_info.min)。如果 x 等于可表示最大正浮点数，则返回 x 的最低有效比特位的值，使得小于 x 的第一个浮点数为 x - ulp(x)。在其他情况下 (x 是一个有限的正数)，则返回 x 的最低有效比特位的值，使得大于 x 的第一个浮点数为 x + ulp(x)。ULP 即 "Unit in the Last Place" 的缩写。另请参阅 math.nextafter() 和 sys.float_info.epsilon。3.9 新版功能.

注意 frexp() 和 modf() 具有与它们的C等价函数不同的调用/返回模式：它们采用单个参数并返回一对值，而不是通过 '输出形参' 返回它们的第二个返回参数（Python中没有这样的东西）。

对于 ceil() ， floor() 和 modf() 函数，请注意 所有 足够大的浮点数都是精确整数。Python浮点数通常不超过53位的精度（与平台C double类型相同），在这种情况下，任何浮点 x 与 abs(x) >= 2**52 必然没有小数位。

🍔 幂函数与对数函数

• math.cbrt(x) 返回 x 的立方根。3.11 新版功能.
• math.exp(x) 返回 e 的 x 次幂，其中 e = 2.718281... 是自然对数的基数。这通常比 math.e ** x 或 pow(math.e, x) 更精确。
• math.exp2(x) 返回 2 的 x 次幂。3.11 新版功能.
• math.expm1(x) 返回 e 的 x，减去 1。 这里 e 是以自然对数作为基数。 对于小浮点数 x，在 exp(x) - 1 中的减法运算可能导致 明显的精度损失; expm1() 函数提供了一种以完整精度计算此数量的办法:>>>>>> from math import exp, expm1 >>> exp(1e-5) - 1 # gives result accurate to 11 places 1.0000050000069649e-05 >>> expm1(1e-5) # result accurate to full precision 1.0000050000166668e-053.2 新版功能.
• math.log(x[, base]) 使用一个参数，返回 x 的自然对数（底为 e ）。使用两个参数，返回给定的 base 的对数 x ，计算为 log(x)/log(base) 。
• math.log1p(x) 返回 1+x 的自然对数（以 e 为底）。 以对于接近零的 x 精确的方式计算结果。
• math.log2(x) 返回 x 以2为底的对数。这通常比 log(x, 2) 更准确。3.3 新版功能.参见 int.bit_length() 返回表示二进制整数所需的位数，不包括符号和前导零。
• math.log10(x) 返回 x 底为10的对数。这通常比 log(x, 10) 更准确。
• math.pow(x, y) 返回 x 的 y 次幂。 特殊情况将尽可能遵循 IEEE 754 标准。 特别地，pow(1.0, x) 和 pow(x, 0.0) 总是返回 1.0，即使当 x 为零或 NaN 也是如此。 如果 x 和 y 均为有限值，x 为负数，而 y 不是整数则 pow(x, y) 是未定义的，并将引发 ValueError。与内置的 ** 运算符不同， math.pow() 将其参数转换为 float 类型。使用 ** 或内置的 pow() 函数来计算精确的整数幂。在 3.11 版更改: 特殊情况 pow(0.0, -inf) 和 pow(-0.0, -inf) 已改为返回 inf 而不是引发 ValueError，以便同 IEEE 754 保持一致。
• math.sqrt(x) 返回 x 的平方根。

🍔 三角函数

• math.acos(x) 返回以弧度为单位的 x 的反余弦值。 结果范围在 0 到 pi 之间。
• math.asin(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正弦值。 结果范围在 -pi/2 到 pi/2 之间。
• math.atan(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正切值。 结果范围在 -pi/2 到 pi/2 之间。.
• math.atan2(y, x) 以弧度为单位返回 atan(y / x) 。结果是在 -pi 和 pi 之间。从原点到点 (x, y) 的平面矢量使该角度与正X轴成正比。 atan2() 的点的两个输入的符号都是已知的，因此它可以计算角度的正确象限。 例如， atan(1) 和 atan2(1, 1) 都是 pi/4 ，但 atan2(-1, -1) 是 -3*pi/4 。
• math.cos(x) 返回 x 弧度的余弦值。
• math.dist(p, q) 返回 p 与 q 两点之间的欧几里得距离，以一个坐标序列（或可迭代对象）的形式给出。 两个点必须具有相同的维度。大致相当于：sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))3.8 新版功能.
• math.hypot(*coordinates) 返回欧几里得范数，sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))。 这是从原点到坐标给定点的向量长度。对于一个二维点 (x, y)，这等价于使用毕达哥拉斯定义 sqrt(x*x + y*y) 计算一个直角三角形的斜边。在 3.8 版更改: 添加了对 n 维点的支持。 之前的版本只支持二维点。在 3.10 版更改: 改进了算法的精确性，使得最大误差在 1 ulp (最后一位的单位数值) 以下。 更为常见的情况是，结果几乎总是能正确地舍入到 1/2 ulp 范围之内。
• math.sin(x) 返回 x 弧度的正弦值。
• math.tan(x) 返回 x 弧度的正切值。

🍔 角度转换

• math.degrees(x) 将角度 x 从弧度转换为度数。
• math.radians(x) 将角度 x 从度数转换为弧度。

🍔 双曲函数

双曲函数 是基于双曲线而非圆来对三解函数进行的模拟。

• math.acosh(x) 返回 x 的反双曲余弦值。
• math.asinh(x) 返回 x 的反双曲正弦值。
• math.atanh(x) 返回 x 的反双曲正切值。
• math.cosh(x) 返回 x 的双曲余弦值。
• math.sinh(x) 返回 x 的双曲正弦值。
• math.tanh(x) 返回 x 的双曲正切值。

🍔 特殊函数

• math.erf(x) 返回 x 处的 误差函数 。erf() 函数可用来计算传统的统计函数如 累计标准正态分布:def phi(x): 'Cumulative distribution function for the standard normal distribution' return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.03.2 新版功能.
• math.erfc(x) 返回 x 处的互补误差函数。 互补错误函数 定义为 1.0 - erf(x)。 它用于 x 的大值，从其中减去一个会导致 有效位数损失。3.2 新版功能.
• math.gamma(x) 返回 x 处的 伽马函数 值。3.2 新版功能.
• math.lgamma(x) 返回Gamma函数在 x 绝对值的自然对数。3.2 新版功能.

🍔 常量

• math.pi 数学常数 π = 3.141592...，精确到可用精度。
• math.e 数学常数 e = 2.718281...，精确到可用精度。
• math.tau 数学常数 τ = 6.283185...，精确到可用精度。Tau 是一个圆周常数，等于 2π，圆的周长与半径之比。更多关于 Tau 的信息可参考 Vi Hart 的视频 Pi is (still) Wrong。吃两倍多的派来庆祝 Tau 日 吧！3.6 新版功能.
• math.inf 浮点正无穷大。 （对于负无穷大，使用 -math.inf 。）相当于 float('inf') 的输出。3.5 新版功能.
• math.nan 一个浮点数值 "Not a Number" (NaN)。 相当于 float('nan') 的输出。 根据 IEEE-754 标准 要求，math.nan 和 float('nan') 不会被视为等于任何其他数值，包括其本身。 要检查一个数字是否为 NaN，请使用 isnan() 函数来测试 NaN 而不能使用 is 或 ==。 例如:>>>>>> import math >>> math.nan == math.nan False >>> float('nan') == float('nan') False >>> math.isnan(math.nan) True >>> math.isnan(float('nan')) True在 3.11 版更改: 该常量现在总是可用。3.5 新版功能.

CPython 实现细节： math 模块主要包含围绕平台C数学库函数的简单包装器。特殊情况下的行为在适当情况下遵循C99标准的附录F。当前的实现将引发 ValueError 用于无效操作，如 sqrt(-1.0) 或 log(0.0) （其中C99附件F建议发出无效操作信号或被零除）， 和 OverflowError 用于溢出的结果（例如， exp(1000.0) ）。除非一个或多个输入参数是NaN，否则不会从上述任何函数返回NaN；在这种情况下，大多数函数将返回一个NaN，但是（再次遵循C99附件F）这个规则有一些例外，例如 pow(float('nan'), 0.0) 或 hypot(float('nan'), float('inf')) 。

注意：Python不会将显式NaN与静默NaN区分开来，并且显式NaN的行为仍未明确。典型的行为是将所有NaN视为静默的。