PPPPP级数-发散上天也可emo到尘埃里

级数的级其实是Series，称之为有顺序的数。

级数和数列的区别在于数列强调数字以排列形式出现，而级数（∑）是强调该数列的总和。我觉得不如叫无穷序列。

如果这个S最后有个数，就说收敛了，如果不存在就是发散

几何级数

几何级数：从第二项开始，每一项都是由前一项的多少次方。它又称“等比级数”，指的是这样一个数列，这个数列中的每一个数都是前一个数的固定倍数，这个倍数又称“公比”。

好看

因此一个数跟前一个数之间的增长率或者变化率就是恒定的。

看看检验，第一步其实是要确认你的级数是什么

好题

再看一个经典的题

这个叫N项和

也好想，如果无穷的地方还没有到0，那就要无限的加下去，总有一天，会无限。

但是这个反过来用是不对的

级数的表达式是离散的，但是可以把取值连续化，也就可以变成函数

全文最佳的图

说明的是这样

补充一个对立的图

更加精密的不讨论。

记住这个出名的调和级数

和1/x是共犯，形式一样

你想着越来越小的数加下去会怎么说？会发散都发散了。

但是它的发散时间是天荒地老的。。。

哈哈哈，我读这个的时候就在想，我该用漫长的时间思考如何死去

上面直觉失效了，上面的级数属于出名的PPPP级数：

也就是太特殊了，特殊到有了单独的名字

p级数，又称超调和级数，是一种特殊的正项级数。当p=1时，p级数退化为调和级数。此外，p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。

而对于几何级数，它是数学类名词，是表示等比数列的前n项和，也称为等比级数。

其实就是积分检验的一个例子

这里可以不加证明的给出直观的理解，＞1的时候就变成了调和级数，收敛了。

就是这样

比较判别：

看一个直观的例子，因为分母一直右比左大，值是换过来的

我们就成称右一直活在左的阴霾之下，左无论多努力都是手下败将，即使无穷。

如果你老混

每次的和都是吹进来的气

外部永远不💥就是收敛，b＞a，里面是有限体积，小的也不炸。反之里面的炸了，外面的肯定就炸了。

上面的比较法一定是正数

可以看到是把不好求的级数转换到我们熟悉的地方处理

这个题会引出来新的方法，因为这个发散的p级数我们说明不了里面的是什么情况，其实比较法有4种情况，只有两个是可以确定的。

还记得我昨天的文章吗？

泰勒展的开，我有时候展不开

其实就是同样的速度，我们在比较速度

漂亮啦

这种的符号交替出现，我觉得就好像抽疯一样，叫交错级数，交错的是符号。

专门有法则

先摘正项出来使用比较法，最后再看远端，就判断收敛了。

数学里面有不少绝对的定理，就是名字里面有。。。：

绝对值好像在很多时候不只是有吃掉负号的作用：

也好理解吧？就是一个定义

这里的名词条件收敛的意思就是在某些情况级数可以收敛也可以发散，绝对值以后变成了调和级数就是我们写的直观怪异的级数，远端是发散。

这个级数的分母是单一个n：

这个是n²就大不一样了

还有一种是比值的，上面的冷笑话我看不懂

好用吧？但是这个形式要求级数比较复杂

还有一个，题就不放了

（能看到这里的都是爱学习的好宝宝，凭截图来换我一句牛逼）

嘿嘿

来看看幂级数，里面的X说明了级数还在我们的控制中！

你觉得怎么样？可以是比值法，都all in

我们先看是不是n项检验可以用，就是一开始说的，如果趋于0，就不好说了，有可能收敛，那就看看是不是属于几何级数或者p级数（有判别）

如果是正项级数：基本比较和极限比较。

如果有阶乘和c^n那就比值检验，可以约一下，如果有n个次方为n的那就根值（我没有写）

积分是好用的，但是限制多，必须各项向0走，而且你可以积分，你都积不出来不是喝多了啊.

交错级数虽然难看，但是好在你比较好认，直接交错级数法。

幂级数是要用比值和根值的，需要找收敛区间，这里我没有说。

这个先看我前天的文章

上面是计算上面的舒服，但是应用的时候我们要控制误差，所以余项就是这个作用：

先泰勒，后定误差范围

我其实就是想写写P级数的，没想到全写了。上面的都是小儿科的级数，但是很多人也不明白。

看看啥叫数学

🤮啦，去吃馄炖了。。。