啊！再见吧！我的行列式~

当你听完线性代数中矩阵各种厉害，各种应用，然后提了提裤子冲入线性代数的世界，会发现出现了行列式，代数余子式，等等的东西，和你想象的那个变换，映射的世界相差甚远。

我每次都是这样

我无法做到不了解它的前因后果就接受它，SO，今日这点的时间就留给它。目标是有直观理解，以及计算两个方面。就如王老师所说：概念+应用。

拿出来课本看看有什么？

虽然人人骂，但是不可否认的是，这样的设计可以让授课快很多。

MIT的课程是放到了中间的位置

马同学是第七章

偷张宇的导图

最直观的定义就是在一个矩阵函数下面进行了映射，映射前后的面积之比为行列式。

其实这门课本身是在解这样的线性方程组

除了用高斯消元法等算法（我好像就记得这个），还可以使用行列式来计算

有几个未知数就列几个方程，这样才能求出唯一解。这是以前念书的时候说的，观念之深甚至到现在我都会时不时的来判断一个方程能不能解出来。

比如常见的二元一次方程组

如果这个系数矩阵，是满Rank的（三满，本身的和行与列的）

我们这样定义一个列满

看一个例题

C1，2组成了一个平面，因为在这里面，任意两个线性无关（就是不可以互相表示，也就是最大无关组，是基），构成了一个平面，也说张成了一个平面，结论就是满Z。

看行Z，你看上面的转置符号，其实也就是转成了列Z

还是上面的矩阵，可以看到两个行向量是一样的，相关了，按照定义就是不满行Z

按照定义看，行≠列也就是≠矩阵的Z

直观看，R（2）是只能变成一个平面的，再也没有多余的基来生成多的空间。

对秩的理解：向量组张成的空间维数，而这取决于组中向量的个数和组中向量的维数。

矩阵满秩表明张成空间的维数等于矩阵行/列数（行/列组中向量个数）。以行秩为例矩阵Amn，m行n列，行组中含有m个n维向量。

它最高张成R^m。

如果m＞n，说明“基”不够无法张成R^m，一定非满秩。并且此时m个n维向量一定是线性相关的。此时这m个向量最高张成R^n，那么它的秩r≤n。他们相关性越高，则张成空间维数越小，秩越小。

如果m＜n，则最高张成是R^m，尽管其中向量为n维向量。如果行组相关性最小，是线性无关，则表明有m个“基”可张成R^m，行满秩。如果行组有相关性，则不满秩。并且，随着相关性的增长，行组中越多向量可由其他表示，用于张成的“基”就越少，张成的维数也越小，秩也越小。

大概就是这么个情况

上面说的是系数矩阵满Z，我就可以高斯消元法来解

因为上面看起来太复杂了，所以这里就来定义一个规则，就这样

教科书也是这样说的，这个骂不了

而且人家说了，反正就记作一个大的绝对值的样子

最终的解就是这样的

看不懂？没事啊，教科书给你补啦，小傻逼

需要知道的是，这个计算法则是不要求满Z的，就是个方阵就好

这个是不是太简单了？有手就行，那接下来看看3x3的:

就这样

还是满Z

直接，妈妈我拉裤兜子了，这个一坨太恐怖了

那继续引入一个记号，就是这样

我的心眼子都没有这个顺序多

就这么个情况，就解出来了

当然平时习惯是展开成二阶的算

就是重拍了一下

今天我教你个简单的做法：

首先把前两行重写一次，写在行列式后面，接着就是从左开始算，三下，是加号，然后从最后再翻过来三下。

书上例题

hhh，但是现在问题是行列式会了，100以内加减法不会了

前面提到的解线性方程组的方法也称为克拉默法则

这老哥观察了以后就说，系数矩阵A是满的，解就是用规律的

注意看，列！！！！！！！！！！

最后说了，4阶的也是OJBK

展开有24项这么多

这才8个，明显不对

这就是教科书的问题，逆序数，关我锤子事，一学一个不吱声，其实是因为解方程的方法蕴含上面的规律。

介绍阶行列式的定义，它的定义相当复杂，可以想象是数学家们（比如凯莱、范德蒙、克拉默等）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。

哈哈哈，概率这个搅死棍也来了

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

在一个排列（也就是数列）中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为该排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

你看这个5以前，没有一个大于5，所以就是0个

4呢？有个5，是1

6！偶排列

一个排列中任意的两个元素对换，排列改变奇偶性。

做个题

好丑的字，吐了

那么我们的这个行列式就是表示成了这样

先不慌，虽然抽象，但是我们能赢，你看这个a的元素，第一个1其实就是第一行的意思，后面的p就是列，这个列就是我们元素的全排列。

这里解决第一个问题，里面的每一项，就是这些元素相乘有多少个，以及该取谁。你看，就是5个数的全排列，把值给到列就好了。

看第一个数字，都是123

第二项就是全排列了

第二个问题就是全面这个系数，其实就是后面这个式子逆序数，就是需要对换多少次才是排列好，其实是个计算机的排序问题。

冒泡了，嘟嘟嘟

最后的问题是有多少项，就是对所有的全排列求和

现在去看教科书，看看能看懂不？

看这个题，一定要先按序排列

有点激动？学会没有？我不知道，前路漫漫，继续！

在A2矩阵的映射下，变成了右边

这个很形象

比如这个，A＞0，面积没有变，就是乘了一个旋转阵

乘一个伸缩阵会变大

也会变小

如果不满Z，那么行列式=0

你看这个矩阵，是一个行阶梯的矩阵，非0行为1

镜像阵的行列式就可以＜0

但是在过程中

这里我们也可以定义这个面积有正负

你看就比出来了负数，负数本身就有旋转的意思

变换后和变换前的有向面积之比，不说是面积比值了。

事实上这里有点难，我可能不会写了，但是我自己会学，我看情况

是哪个？

右手定理，从b抓到c

就是这样

向量空间的自然基是这样排列的

那么根据上面的运算和定义会有这样的关系

知道三维空间中的有向面积在各个坐标面上的投影向量，那么就可以合成得到三维空间中的有向面积，也就是向量积。

有一组向量是中间图案的两个边

有向面积是从上的

这样就是投影了

一抓，其实这个xoy的z是从下的

这个面积其实是用的叉🐔，这个箭头某种意义是是算出来的结果，所以它时不时的拉长和缩短。

叉🐔计算

模长

懂了把

各个平面都有

加起来就是了

三阶有这样的算法

为了（我不知道咋说，反正加了就好算了，就好像是摄影几何里面的齐次坐标系，我这里好像说错了）

这里是一个面的算法：

第一列是强行加进来的，这里其实3Bule的视频有说，但是我不记得了

这里吧

其实这里并没有说是三阶行列式啥的，就说了叉🐔，这里是v在w的左边就是负面积

时刻牢记

小tips

一个行列式的性质

这个P向量有什么特点，也是求法向量的好手

右手法则

出现了！我就记得这里有这个！

计算这个的行列式

但是是用了对偶的想法

我也不记得对偶是什么了，但是这里就记住下面的话，线性变换与这个向量的点乘等价

就是这样

空间里面的线性变换可以在矩阵空间（这里不一定对）找到一个对偶向量

这里的工作是想根据两个基底定义三维到一维的变换：

就是这样

原因是可以知道这里对应关系

首先给一个2x2的行列式的几何直观

但是我们3x3这样的不是真正的叉🐔，因为算出来数

之后就改造，我们可以输入一个列向量，变成了一个行列式

因为这个变换是线性的

所以前面的矩阵可以竖起来写成矩阵

就变成了点积

也就是说，其实是在找一个对称的点积运算

把它打开以后

系数解读为一个向量坐标

所以P到底是什么？这里去拷打点积

先知道下面的面，然后知道上面的垂直分量，组成了一个体积

其实最后也没有给出了一个P为什么是ijk，但是说明了一种线性变换必然对应一个矩阵乘积的想法。

所以叉🐔其实来至于点积。

https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=12&vd_source=4d701f61fa0ceae0a5ab579df26e314c

这里的矩阵就是不合法的，因为矩阵里面元素都输实数，但是这里可以法外开恩，这个公式也在高中被老师称为空间几何计算的利器，可不是吗？

bxc

就是这样的算法

bc围成了面积为1的平行四边形，方向是负向

如果、皆为二维向量，那么可以求向量积吗？不可以，应该是三维向量围成的有向平行四边形。

首先代表了有向体积这个事情

数值上面是体积之比

终于到子式的概念了

A这样取

这样就是A的一个二阶子式

教材里面使用子式来定义矩阵的Z

有这个事情

余子式就是这样划掉一行一列

首次出现是在三阶行列式里面

就是这样的，其实是空间平面在坐标面的投影

之后加上符号就是代数余子式了

这个就是正负号的规律

“行和列数相加偶数为正，奇数为负”

加上符号就是这样

总结一下

我本来想在这里大写特写的，但是真的写到这里也没有什么好说的，就是这么个定义，emmmm，我记住了。

教科书其实也说的挺明白的

这不就展开了?

给大家留个题

本来是性质也想说的，但是我好饿，不写了，日后随缘更新。