AVL树详解及旋转特性：

目录

认识AVL树：

插入时的平衡调节:

右单旋：

左单旋：

左右双旋：

右左双旋:

认识AVL树：

想必大家都了解过二叉搜索树，O（logn）的时间复杂度查找数据，效率可以说很高了，但是在一些场景下，它的效率还是不够理想。当往二叉搜索树里插入的都是有序的值时，就会出现下面的情况：

这样的话二叉树退化成了单支树，时间复杂度就近似O（n），效率大减。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

简单来说。这种树可以自己调节平衡性，保证每颗树的左右子树高度不会相差太多，来看看它是如何实现的：

在每个节点，加入一个变量：平衡因子：

AVL树的每一颗子树都必须是AVL树 平衡因子的值==右子树的高度-左子树的高度 合法平衡因子的值只能是-1，0，1，一旦超过或者低于这些值就要调节平衡（旋转）。

为了方便理解，我把下面这棵树的平衡因子标注在旁边，可以自己分析一哈：

插入时的平衡调节:

每次插入数据时，都有可能改变树的高度，那么该如何精确地做到调节平衡因子，从而改变树地高度呢？这里时通过旋转的方法，我们先列举一下到底什么情况需要旋转，也就是调节平衡，大致可分为4大类，下图时这4大类的树高度趋势图：

接下来一一分析这4种情况：

右单旋：

当树的高度趋向上图趋势时，来看看这种树的具象图：

方括号a，b，c都表示高度为h的子树，当我们在a或b下面插入新节点时，势必会引发不平衡，我们通过右单旋来调节，先看看过程：

右单旋：首先找到旋转点，也就是在插入节点后向上找，第一个平衡因子为-2的祖先，并且祖先的左孩子的平衡因子为-1，此时就需要进行右单旋，为方便叙述，我把刚才讲的祖先和左孩子节点设为，parent和subL。先将subL的右子树（图中的b）给parent的左子树，再将parent给subL的右子树，最后将subL和parent的平衡因子都变为0，完成右单旋。

为了方便找到父亲，每个节点都是都有自己父亲的指针，所以每次调节过程中都要调节自己节点中父亲指针的指向，可以自己看图捋捋，过程我放在代码里；

代码：

void RotateR(node* parent)
	{
		//调节节点
		node* subL = parent->left;
		node* subLR = subL->right;
		node* ppnode = parent->parent;
		parent->left = subLR;
		if (subLR)//防止为空
		{
			subLR->parent = parent;
		}
		subL->right = parent;
		parent->parent = subL;
		//调节父节点的指向
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppnode->left)//若这整颗树是别人的左子树
			{
				ppnode->left = subL;
			}
			else//若这整颗树是别人的右子树
			{
				ppnode->right = subL;
			}
			subL->parent = ppnode;
		}
		//平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

左单旋：

讲完右单旋，其实左单旋也是同理，先看看触发左单旋的高度趋势图和具象图：

左单旋：首先找到旋转点，也就是在插入节点后向上找，第一个平衡因子为2的祖先，并且祖先的右孩子的平衡因子为1，此时就需要进行左单旋，为方便叙述，我把刚才讲的祖先和右孩子节点设为，parent和subR。先将subR的左子树（图中的b）给parent的右子树，再将parent给subR的左子树，最后将subR和parent的平衡因子都变为0,完成左单旋。

代码：

void RotateL(node* parent)
	{
		node* subR = parent->right;
		node* subRL = subR->left;
		node* ppnode = parent->parent;
		parent->right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->parent = parent;
		}
		parent->parent = subR;
		subR->right = parent;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->left == parent)
			{
				ppnode->left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->right = subR;
			}
			subR->parent = ppnode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左右双旋：

当遇到图中情况，一次单旋已经解决不了问题了，所以需要双旋，如上图，先以30为旋转点进行一次左单旋 ，再以90为旋转点，进行一次右单旋。

在双旋中，如果理解了单旋，旋转已经不成问题了，难的是最后平衡因子的调节，在单旋完后，我们都将parent subL或者subR的平衡因子都改为了0，但在双旋中不一样，上图是在b后面插入，最后的平衡因子为parent为1，其它为0，如果在c后面插入呢？

可以发现，最后的平衡因子：subL为-1，其他为0。还有一种情况就是，60自己作为新节点插入，这里不再画图，直接说结果，最后的平衡因子都为0。

所以，在旋转前，我们先记录subLR（图中60）的平衡因子：

如果为1（在subLR的右边插入），最后调节平衡因子时就将subL的平衡因子设为-1，其它为0； 如果为-1（在subLR的左边插入），最后调节平衡因子时就将parent的平衡因子设为1，其它为0； 如果为0（subLR作为新节点插入），最后所有平衡因子设为0。

代码：

void RotateLR(node* parent)
	{
		node* subL = parent->left;
		node* subLR = subR->right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);
		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 1)//在subLR右边插入
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)//在subL左边插入
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)//subL作为新增
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
	}

右左双旋:

右左双旋和左右双旋同理：

先以90为旋转点进行一次右单旋 ，再以30为旋转点，进行一次左单旋。

同样最后的平衡因子调节也需要分情况，在旋转前，我们先记录subRL（图中60）的平衡因子：

如果为1（在subRL的右边插入），最后调节平衡因子时就将parent的平衡因子设为-1，其它为0； 如果为-1（在subRL的左边插入），最后调节平衡因子时就将subR的平衡因子设为1，其它为0； 如果为0（subRL作为新节点插入），最后所有平衡因子设为0。

代码：

	void RotateRL(node* parent)
	{
		node* subR = parent->right;
		node* subRL = subR->left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)//在subRL的右边插入
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)//在subRL的左边插入
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 0)//subRL作为新增
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
	}