梁的基本方程
▲图1
图1为受分布载荷作用的简支梁,该问题的三大类基本方程如下。
方向的平衡方程
方向的平衡方程
物理方程
几何方程
单元的离散化描述
▲图2
图2所示为一局部坐标系中的2节点梁单元,其长度为
,弹性模量为
。单元节点位移列阵
其中
分别为各节点的挠度和转角。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式,可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵
及相关的插值函数来表示。例如,单元内部任意位置
处的位移(挠度)
可表达为:
式中,
为Hermite插值基函数,其表达式为
▲图3
以单元节点位移作为独立自变函数,通过Hermite插值构造单元位移场。作为独立自变函数的位移首先要满足几何方程,位移边界条件以及单元间的连续性条件,故这种单元称为位移协调元。
单元应变场和应力场
由梁的几何方程,有梁的应变表达式
其中,
是应变矩阵。
由梁的物理方程
至此,单元上任意点的位移、应变和应力均已通过单元两端的结点位移表达。以下就利用虚功原理来导出单元的刚度矩阵。
虚功方程
设单元轴线处发生虚位移
,则
式中
为结点虚位移向量。则单元的虚应变
可表示为
存在于单元中的应力
在上述虚应变中所作的虚功为
均布荷载
在虚位移上所作的虚功
由虚功原理
可得
记
则有
上式就是单元平衡方程。与最小势能原理相比,虚功原理不需做变分运算。
记
,则