(\sum_{i=1}^∞u_i=u_1+u_2+...+u_n+...)
无穷级数就是无限项数列的加和。相比于无限项,也有有限项的级数,就是无穷级数的前n项
(S_n=\sum_{i=1}^nu_i)
无穷级数如果最终结果为∞,那么我们就说该无穷级数为发散的;无穷级数如果最终结果为一个数A,那么我们就说该无穷级数为收敛的。它等价于
(\lim_{n->∞}Sn=A)
为收敛,反之发散。
几个特殊级数
(\sum_{n=1}^∞aq^{n-1}) (a>0)
当公比的绝对值|q|<1时,该级数为收敛的,如
(1+{1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 8}+...+{1\over 2^n}+...=2)
当|q|>1时,该级数为发散的,如
(1+2+4+8+...+2^n+...=∞)
(\sum_{n=1}^∞{1\over n^P})
当P≤1时,为发散的
当P>1时,为收敛的
当P=1的时候,(\sum_{n=1}^∞{1\over n}=∞)
这是两个非常重要的级数。
正项级数判敛法
正项级数有如下性质:
1、一般形式:若
(b_n≥a_n≥0)
则
示例1:(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n})
({(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}=({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n)为一个正项级数
该数列并不是一个等比数列,但是我们发现
(({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n≤({\sqrt{2}+1\over 3})^n)
由于(({\sqrt{2}+1\over 3})^n)是一个等比数列,其公比({\sqrt{2}+1\over 3}<1)为收敛的,故
(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n})为收敛的。
2、极限形式:
(\sum_{n=1}^∞a_n)与(\sum_{n=1}^∞b_n)均为正项级数
(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C>0)
则二者同敛散
证明:对于(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C),我们知道对于任意ε>0,都存在一正整数N,使得n>N时有(|{a_n\over b_n}-C|<ε),等价于
(-ε<{a_n\over b_n}-C<ε)
(C-ε<{a_n\over b_n}<C+ε)
((C-ε)b_n<a_n<(C+ε)b_n)
由于C>0,我们可以让ε足够小,使得C-ε>0,因此
(b_n<{a_n\over C-ε})
根据比较法,如果(\sum_{n=1}^∞a_n)收敛,则(\sum_{n=1}^∞b_n)同样收敛;
又有
(a_n<(C+ε)b_n)
则如果(\sum_{n=1}^∞b_n)收敛,(\sum_{n=1}^∞a_n)同样收敛。
示例2:(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}})
由于({1\over \sqrt{n^3-n+1}}~{1\over \sqrt{n^3}}={1\over n^{3\over 2}})同阶无穷小(关于无穷小的内容可以参考高等数学整理 中的函数连续性)
则有(\lim_{n->∞}{n^{3\over 2}\over \sqrt{n^3-n+1}}=1)
由于(\sum_{n=1}^∞{1\over n^{3\over 2}})收敛,故原级数(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}})同样收敛。
示例3:(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n}))
因为(ln(1+{2\over n})~{2\over n})
由于(\sum_{n=2}^∞{2\over n})是发散的,故原级数(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n}))是发散的。