（粗糙的笔记）动态规划

WuShF

发布于 2023-10-05 08:24:04

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发布于 2023-10-05 08:24:04

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动态规划算法框架：

问题结构分析
递推关系建立
自底向上计算
最优方案追踪

背包问题

输入：

个商品组成的集合

，每个商品有两个属性

v_i

和

p_i

，分别表示体积和价格

背包容量

输出：

求解一个商品子集

S\subseteq O

直观策略

策略1：按商品价格由高到低排序，优先挑选价格高的商品
策略2：按商品体积由小到大排序，优先挑选体积小的商品
策略3：按商品价值与体积的比由高到低排序，优先挑选比值高的商品

这三种策略都不能保证得到最优解

蛮力枚举

枚举所有商品组合：

2^n-1

种情况

检查体积约束

递归函数KnapsackSR(h,i,c)：

在第

个到第

个商品中，容量为

时最优解

选择啤酒：

KnapsackSR(1,4,3)+24

不选啤酒：

KnapsackSR(1,4,13)

伪代码：

输入：商品集合{h,...,i}，背包容量c
输出：最大总价格P
if c<0 then
| return 0
end
if i <= h-1 then
| return 0
end
P1 <- KnapsackSR(h,i-1,c-vi)
P2 <- KnapsackSR(h,i-1,c)
P <- max(P1+pi,P2)
return P

重复求解大量子问题：

O(2^n)

动态规划

从蛮力枚举到带备忘递归

优化子问题解，避免重复计算

构造备忘录P[i,c]，P[i,c]表示在前i个商品中选择，背包容量为c时的最优解

输入：商品集合{h,...,i}，背包容量c
输出：最大总价格P
if c<0 then
| return 0
end
if i <= h-1 then
| return 0
end
if P[i,c]!=NULL then
| return P[i,c]
end
P1 <- KnapsackMR(h,i-1,c-vi)
P2 <- KnapsackMR(h,i-1,c)
P[i,c] <- max(P1+pi,P2)
return P[i,c]

递推求解

容量为0时：

P[i,0]=0

没有商品时：

P[0,c]=0

确定计算顺序：

按从左往右、从上到下的顺序计算

问题：如何确定选取了哪些商品

记录决策过程：KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

回溯解决方案：

倒序判断是否选择商品
根据选择结果，确定最优子问题

伪代码：

输入：商品集合{h,...,i}，背包容量c
输出：最大总价格P
//初始化，创建二维数组P和Rec
for i <- 0 to C do
| P[0,i] <- 0
end
for i <- 0 to n do
| P[i,0] <- 0
end
//求解表格
for i <- 1 to n do
| for c <- 1 to C do
|  | if v[i]<=c and p[i]+P[i-1,c-v[i]]>P[i-1,c] then
|  | | P[i,c]=p[i]+P[i-1,c-v[i]]
|  | | Rec[i,c] <- 1
|  | end
|  | else
|  | | P[i,c] <- P[i-1,c]
|  | | Rec[i,c] <- 0
|  | end
| end
end

时间复杂度：

O(n\cdot C)

上面带备忘递归和递推求解的方法都属于动态规划：

带备忘递归：自顶向下
递推求解：自底向上

最优子结构性质：

问题的最优解由相关子问题最优解组合而成
子问题可以独立求解

动态规划与分而治之的区别：

动态规划：重叠子问题
分而治之：独立子问题

最大子数组

问题结构分析：

给出问题表示：

D[i]

为以

X[i]

开头的最大子数组和

明确原始问题

S_{max}=max\{D_i\}

递推关系建立：

情况一：

D[i+1]>0

，则

D[i]=X[i]+D[i+1]

情况二：

D[i+1]\leq0

，则

D[i]=X[i]

自底向上计算：

初始化：

D[n]=X[n]

递推公式：KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

记录决策过程：

构造追踪数组

Rec[1..n]

情况一：结尾相同，则

Rec[i]=Rec[i+1]

情况二：结尾不同，则

Rec[i]=i

最优方案追踪：

从子问题中查找最优解
最大子数组开头位置：

最大子数组结尾位置：

Rec[i]

伪代码：

输入：数组X，数组长度n
输出：最大子数组和Smax，子数组起止位置l,r
//初始化
D[n] <- X[n]
Rec[n] <- n
//动态规划
for i <- n-1 to 1 do
| if D[i+1]>0 then
| | D[i] <- X[i]+D[i+1]
| | Rec[i] <- Rec[i+1]
| end
| else
| | D[i] <- X[i]
| | Rec[i] <-i
| end
end
//查找解
Smax <- D[1]
for i <- 2 to n do
| if Smax<D[i] then
| | Smax<-D[i]
| | l <- i
| | r <- Rec[i]
| end
end
return Smax,l,r

最长公共子序列

子序列：将给定序列中零个或多个元素去掉后所得的结果

蛮力枚举

枚举所有子序列可能存在最优子结构和重叠子问题

动态规划

问题结构分析：

给出问题表示：

C[i,j]

表示

X[1..i]

和

Y[1..j]

的最长公共子序列长度

递推关系建立：分析最优子结构

考察末尾字符：
情况1：

x_i\neq y_j

时，

C[i,j]=max\{ C[i,j-1],C[i-1,j] \}

情况2：

x_i= y_j

时，

C[i,j]= C[i-1,j-1]+1

自底向上计算：确定计算顺序

初始化：

C[i,0]=C[0.j]=0

//某序列长度为0时，最长公共子序列长度为0

递推公式：KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

最优方案追踪：记录决策过程

构造追踪数组

rec[1..n]

，记录子问题来源:KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

伪代码：

输入：两个序列X,Y
输出：X和Y的最长公共子序列
n <- length(X)
m <- length(Y)
//初始化
新建二维数组C[n,m]和rec[n,m]
for i <- 0 to n do
| C[i,0] <-0
end
for j <- 0 to m do
| C[0,j] <- 0
end
//动态规划
for i <- 1 to n do
| for j <- 1 to m do
|  | if Xi=Yj then
|  | | C[i,j] <- C[i-1.j-1]+1
|  | | rec[i,j] <- 'LU'
|  | end
|  | else if C[i-1,j]>=C[i,j-1] then
|  | | C[i,j] <- C[i-1,j]
|  | | rec[i,j] <- 'U'
|  | end
|  | else
|  | | C[i,j] <- C[i,j-1]
|  | | rec[i,j] <- 'L'
|  | end
| end
end
return C,rec

时间复杂度：

O(n\cdot m)

最长公共子串

子串：给定序列中零个或多个连续的元素组成的子序列

蛮力枚举

序列X和序列Y各选择一个位置
依次检查元素是否匹配：
1. 元素相等则继续匹配
2. 元素不等或某序列已达端点，匹配终止

可能存在最优子结构和重叠子问题。

动态规划

问题结构分析：

给出问题表示：

C[i,j]

表示

X[1..i]

和

Y[1..j]

中，以

x_i

和

y_j

结尾的最长公共子串

Z[1..l]

的长度

递推关系建立：分析最优子结构

KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

自底向上计算：确定计算顺序

初始化：

C[i,0]=C[0.j]=0

//某序列长度为0时，最长公共子串长度为0

原始问题：

p_{max}=max\{C[i,j]\}

最优方案追踪：记录决策过程

最长公共子串末尾位置

p_{max}

最长公共子串长度

l_{max}

伪代码

输入：两个字符串X,Y
输出：X和Y的最长公共子串
//初始化
n <- length(X)
m <- length(Y)
新建二维数组C[n,m]
lmax <- 0
pmax <- 0
for i <- 0 to n do
| C[i,0] <- 0
end
for j <- 0 to n do
| C[0,j] <-0
end
//动态规划
for i <- 1 to n do
| for j <- 1 to m do
|  | if Xi != Yj then
|  | | C[i,j] <- 0
|  | end
|  | else
|  | | C[i,j] <- C[i-1,j-1]+1
|  | | if C[i,j] > lmax then
|  | | | lmax <- C[i,j]
|  | | | pmax <- i
|  | | end
|  | end
| end
end

编辑距离问题

编辑操作：删除、插入、替换递推关系建立：只操作

串

删除：

D[i,j]=D[i-1,j]+1

插入：

D[i,j]=D[i,j-1]+1

替换：KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
综合以上三种方式：KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
最小编辑距离VS最长公共子序列：
- KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
- KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

自底向上计算：

初始化：
D[i,0]=i
//把长度为
i
的串变为空串至少需要
i
次删除操作
D[j,0]=j
//把空串变为长度为
j
的串至少需要
j
次插入操作
递推公式：
- KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

最优方案追踪：

追踪数组

Rec

，记录子问题来源

伪代码

输入：字符串s和t
输出：s和t的最小编辑距离
n <- length(s)
m <- length(t)
新建D[0..n,0..m],Rec[0..n,0..m]两个数组
//初始化
for i <- 0 to n do
| D[i,0] <- i
| Rec[i,0] <- 'U'
end
for j <- 0 to m do
| D[0,j] <- j
| Rec[0,j] <- 'L'
end
//动态规划
for i <- 1 to n do
| for j <- 1 to m do
|  | c <- 0
|  | if si!=tj then
|  | | c <- 1
|  | end
|  | replace <- D[i-1,j-1]+c
|  | delete <- D[i-1,j]+1
|  | insert <- D[i,j-1]+1
|  | if replace =min{replace,delete,insert} then
|  | | D[i,j] <- D[i-1,j-1]+c
|  | | Rec[i,j] <- 'LU'
|  | end
|  | else if insert = min{replace,delete,insert} then
|  | | D[i,j] <- D[i,j-1]+1
|  | | Rec[i,j] <- 'L'
|  | end
|  | else
|  | | D[i,j] <- D[i-1,j]+1
|  | | Rec[i,j] <- 'U'
|  | end
| end
end

最优方案追踪-伪代码

输入：矩阵Rec,字符串s,t,索引位置i,j
输出：操作序列
if i=0 and j=0 then
| return NULL
end
if Rec[i,j]='LU' then
| Print-MED(Rec,s,t,i-1,j-1)
| if si=tj then
| | print '无需操作'
| end
| else
| | print '用tj代替si'
| end
end
else if Rec[i,j]='U' then
| Print-MED(Rec,s,t,i-1,j)
| print '删除si'
end
else
| Print-MED(Rec,s,t,i,j-1)
| print '插入tj'
end

钢条切割问题

形式化定义

输入：

钢条长度

价格表

p_l

：表示长度为

的钢条价格

输出：

一组切割方案，令收益最大

问题简化

假设至多切割1次，枚举所有可能的切割位置：

不切：

p[10]

切割：

p[i]+p[10-i]

假设至多切割2次：

先将钢条切割一段
在剩余钢条中继续切割，剩余的问题变为至多切一刀的问题

原始问题不限制切割次数

可能存在最优子结构和重叠子问题

动态规划

问题结构分析：

给出问题表示：

C[j]

表示切割长度为

的钢条可得的最大收益

递推关系建立：

C[j]=max\{ p[i]+C[j-i],p[j] \}

自底向上计算：

初始化：

C[0]=0

//切割长度为0的钢条，总收益为0

递推公式：

C[j]=max\{ p[i]+C[j-i],p[j] \}

最优方案追踪：记录决策过程

构造追踪数组

rec[1..n]

rec[j]

：记录长度为

的钢条的最优切割方案

伪代码

输入：钢条价格表p[1..n]，钢条长度n
输出：最大收益C[n]，钢条切割方案
//初始化
新建一维数组C[0..n],rec[0..n]
C[0] <- 0
//动态规划
for j <- 1 to n do
| q <- p[j]
| rec[j] <- j
| for i <- 1 to j-1 do
| | if q<p[i]+C[j-i] then
| | | q <- p[i]+C[j-i]
| | | rec[j] <- i
| | end
| end
| C[j] <- q
end
//输出最优方案
while n>0 do
| print rec[n]
| n <- n-rec[n]
end

时间复杂度为

O(n^2)

矩阵链乘法问题

矩阵乘法时间复杂度：

计算一个数字：

次标量乘法

p\times r

个数字：

\Theta(pqr)

三个矩阵相乘：

(UV)W=U(VW)

新问题：矩阵乘法结合的顺序

个矩阵相乘：

一系列矩阵按顺序排列
每个矩阵的行数=前一个矩阵的列数

个矩阵相乘也被称为矩阵链乘法

问题定义

输入：

个矩阵组成的矩阵链

U_{1..n}=<U_1,U_2,...,U_n>

矩阵链

U_{1..n}

对应的维度数分别为

p_0,p_1,...,p_n

，

U_i

的维度是

p_{i-1}\times p_i

输出：

找到一种加括号的方式，使得矩阵链标量乘法的次数最少

如何保证不遗漏最优分割位置：

枚举所有可能位置

i..j-1

，共

j-i

种

问题结构分析：

明确原始问题：

D[1,n]

表示计算矩阵链

U_{1..n}

所需标量乘法的最小次数

递推关系建立：

对每个位置

k(i\leq k\leq j)

：

D[i,j]=D[i,k]+D[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j

枚举所有

，得到递推式：

D[i,j]=min(D[i,k]+D[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j)

自底向上计算：

初始化：

i=j

时，矩阵链只有一个矩阵，乘法次数为0。

最优方案追踪：

构造追踪数组

Rec[1..n,1..n]

Rec[i,j]

：矩阵链

U_{i..j}

的最优分割位置

伪代码

输入：矩阵维度数组p，矩阵的个数n
输出：最小标量乘法次数，分割方式追踪数组Rec
新建二维数组D[1..n,1..n],Rec[1..n,1..n]
//初始化
for i <- 1 to n do
| D[i,i] <- 0
end
//动态规划
for l <- 2 to n do
| for i <- 1 to n-l+1 do
| | j <- i+l-1
| | for k <- i to j-1 do
| | | q <- D[i,k]+D[k+1,j]+p[i-1]*p[k]*p[j]
| | | if q<D[i,j] then
| | | | D[i,j] <- q
| | | | Rec[i,j] <- k
| | | end
| | end
| end
end
return D[1,n],Rec

时间复杂度

O(n^3)

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