深度学习必须掌握的 13 种概率分布

深度学习从业者，你需要知道概率分布相关的知识。这里有一份最常见的基本概率分布教程，大多数和使用 python 库进行深度学习有关。

一、概率分布的关系概览

• conjugate 意味着它有共轭分布的关系。
• Multi-Class表示随机方差大于 2。
• N Times意味着我们还考虑先验概率 P(X)。
• 为了进一步了解概率，我建议阅读 [pattern recognition and machine learning，Bishop 2006]。

在贝叶斯概率论中，如果后验分布 p（θx）与先验概率分布 p（θ）在同一概率分布族中，则先验和后验称为共轭分布，先验称为似然函数的共轭先验。共轭先验维基百科在这里（https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior）。无损原图可见：https://github.com/graykode/distribution-is-all-you-need/blob/master/overview.pptx

二、分布概率与特征

1. 均匀分布（连续）

均匀分布在 [a，b] 上具有相同的概率值，是简单概率分布。

2. 伯努利分布（离散）

• 先验概率 p（x）不考虑伯努利分布。因此，如果我们对最大似然进行优化，那么我们很容易被过度拟合。
• 利用二元交叉熵对二项分类进行分类。它的形式与伯努利分布的负对数相同。

3. 二项分布（离散）

参数为 n 和 p 的二项分布是一系列 n 个独立实验中成功次数的离散概率分布。

二项式分布是指通过指定要提前挑选的数量而考虑先验概率的分布。

"""
各分布的生成代码（算法进阶 附注）：
https://github.com/graykode/distribution-is-all-you-need
Code by Tae-Hwan Hung(@graykode)
"""
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

import operator as op
from functools import reduce

def const(n, r):
    r = min(r, n-r)
    numer = reduce(op.mul, range(n, n-r, -1), 1)
    denom = reduce(op.mul, range(1, r+1), 1)
    return numer / denom

def binomial(n, p):
    q = 1 - p
    y = [const(n, k) * (p ** k) * (q ** (n-k)) for k in range(n)]
    return y, np.mean(y), np.std(y)

for ls in [(0.5, 20), (0.7, 40), (0.5, 40)]:
    p, n_experiment = ls[0], ls[1]
    x = np.arange(n_experiment)
    y, u, s = binomial(n_experiment, p)
    plt.scatter(x, y, label=r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f$' % (u, s))

plt.legend()
plt.savefig('graph/binomial.png')
plt.show()

4. 多伯努利分布，分类分布（离散）

• 多伯努利称为分类分布。
• 交叉熵和采取负对数的多伯努利分布具有相同的形式。

5. 多项式分布（离散）

多项式分布与分类分布的关系与伯努尔分布与二项分布的关系相同。

6. β分布（连续）

• β分布与二项分布和伯努利分布共轭。
• 利用共轭，利用已知的先验分布可以更容易地得到后验分布。
• 当β分布满足特殊情况（α=1，β=1）时，均匀分布是相同的。

7. Dirichlet 分布（连续）

• dirichlet 分布与多项式分布是共轭的。
• 如果 k=2，则为β分布。

8. 伽马分布（连续）

• 如果 gamma(a,1)/gamma(a,1)+gamma(b,1)与beta(a,b)相同，则 gamma分布为β分布。
• 指数分布和卡方分布是伽马分布的特例。

9. 指数分布（连续）

指数分布是 α 为 1 时 γ 分布的特例。

10. 高斯分布（连续）

高斯分布是一种非常常见的连续概率分布。

11. 正态分布（连续）

正态分布为标准高斯分布，平均值为 0，标准差为 1。

12. 卡方分布（连续）

• k 自由度的卡方分布是 k 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。
• 卡方分布是 β 分布的特例

13. t 分布（连续）

t 分布是对称的钟形分布，与正态分布类似，但尾部较重，这意味着它更容易产生远低于平均值的值。

代码：https://github.com/graykode/distribution-is-all-you-need/

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