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连续信源的熵与RD

timerring

发布于 2023-04-21 13:31:42

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连续信源的熵

由于连续信源信号幅度取值无限性, 要精确表示这样的信号, 理论上需要无穷个bit才行。即连续信源的绝对熵为

\infty

$\infty$

。

仿照离散信源熵的定义, 有连续信源的熵（相对熵）定义为

H (X) = - \int_{- \infty}^{\infty} f (x) log (f (x)) d x

$H(X)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log (f(x)) d x$

其中

f (x)

$f(x)$

为连续信源信号

X

$\mathbf{X}$

的概率密度函数。连续信源的 (相对) 熵可正可负。

R(D) 的定义域

率失真的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下，讨论允许平均失真度

$\bar{D}$

的最小和最大取值问题。

由于平均失真度

$\bar{D}$

是非负实数

$d\left(x_{i}, y_{j}\right)$

的数学期望, 因此

$\bar{D}$

也是非负的实数，即

$\bar{D} \geq 0$

, 故

$\bar{D}$

的下界是 0 。允许平均失真度能否达到其下限值0, 与单个符号的失真函数有关。

$D_{\min }$

和

$R\left(D_{\min }\right)$

信源的最小平均失真度:

$D_{\min }=\sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) \min _{j} d\left(x_{i}, y_{j}\right)$

只有当失真矩阵的每一行至少有一个

$\mathbf{0}$

元素时,信源的平均失真度才能达到下限值

$\mathbf{0}$

。

当

$\boldsymbol{D}_{\text {min }}=\mathbf{0}$

, 即信源不允许任何失真时,信息率至少应等于信源输出的平均信息量一信息熵。

$R(0)=H(X)$

对于连续信源

$R\left(D_{\min }\right)=\lim _{D \rightarrow 0} R(D) \rightarrow \infty$

因为实际信道总是有干扰，其容量有限，要无失真地传送连续信息是不可能的。

当允许有一定失真时,

$R(D)$

将为有限值, 传送才是可能的。

$\mathbf{R}(\mathbf{D})$

的定义域为

$[D_{\text {min }}, D_{\text {max }}]$

。

通常

$D_{\text {min }}=0, \quad R\left(D_{\min }\right)=H(X)$

当 D ≥ D max D \geq D_{\text {max }} D≥Dmax 时, $\quad R(D)=0$
当

$0 \leq D \leq D_{\text {max }}$

时，

$0\lt R(D)\lt H(X)$

由于

$I(X, Y)$

是非负函数,而

$R(D)$

是在约束条件下的

$I(X, Y)$

的最小值, 所以

$R(D)$

也是一个非负函数, 它的下限值是零。

$\boldsymbol{R}(D) \geq 0$

$D_{\text {max }}$

：是定义域的上限。

$D_{\text {max }}$

是满足 R(D)=0 时所有的平均失真度中的最小值。

$D_{\text {max }}=\min _{R(D)=0} D$

由于

$I(X, Y)=0$

的充要条件是 X 与 Y 统计独立, 即:

$\begin{array}{c} p\left(y_{j} \mid x_{i}\right)=p\left(y_{j}\right) \\ D_{\max }=\min _{p\left(y_{j}\right)} \sum_{i} \sum_{j} p\left(x_{i}\right) p\left(y_{j}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ =\min _{p\left(y_{j}\right)} \sum_{j} p\left(y_{j}\right) \sum_{i} p\left(x_{i}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ D_{\max }=\min _{j=1,2 \cdots m} \sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \end{array}$

例: 设输入输出符号表为

$\mathbf{X}=\mathbf{Y}=\{\mathbf{0}, 1\}$

, 输入概率分布

$p(x)=\{1 / 3,2 / 3\}$

, 失真矩阵

$d=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$

求

$\mathbf{D}_{\min }$

和

$\mathbf{D}_{\max }$

解：失真矩阵的每一行至少有一个 0 元素时,

$D_{\min }=0$

$\begin{array}{l} D_{\max }=\min _{j=1,2} \sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j} \\ =\min _{j}\left(\frac{1}{3} \times 0+\frac{2}{3} \times 1, \frac{1}{3} \times 1+\frac{2}{3} \times 0\right) \\ =\min _{j}\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3} \end{array}$

例: 设输入输出符号表为

$\mathbf{X}=\mathbf{Y}=\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\}$

, 输入概率分布

$p(x)=\{1 / 3,2 / 3\}$

, 失真矩阵

$d=\left[\begin{array}{ll} 1 / 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$

求

$D_{\min }$

和

$\mathbf{D}_{\text {max }}$

解:

$\begin{array}{l} D_{\min }=\sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) \min _{j} d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ =\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{2}{3} \times 1=\frac{5}{6} \\ D_{\max }=\min _{j=1,2} \sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j}=\min _{j}\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{2}{3} \times 2, \frac{1}{3} \times 1+\frac{2}{3} \times 1\right) \\ =\min _{j}\left(\frac{3}{2}, 1\right)=1 \\ \end{array}$

参考文献：

Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.