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一、序列傅里叶变换定义详细分析
序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;
x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;
x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}就是
x(n) 的 序列傅里叶变换 SFT ;
\omega 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
X(e^{j \omega}) 是 实的连续的 变量
\omega 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;
X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}|X(e^{j\omega})| 模 是其 " 幅频特性 " ,
e^{j\theta(\omega)} 相角 是其 " 相频特性 " ,
其中
\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))二、证明单位复指数序列正交完备性
证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "
\{ e^{-j \omega n} \}其中
n = 0 , \pm 1 , \pm2 , \cdots证明正交完备性方法
e^{-j \omega n} 函数 , 乘以该函数的共轭
(e^{-j \omega n})^* , 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :
\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega =\begin{cases}2\pi & m = n \\\\ 0 & m \not= n \end{cases} \ \ \ \ ①在上述计算结果的前提下 , 推导
x(n) 和
X( e^{j \omega } ) 之间的关系 :
X( e^{j \omega } ) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②将 ② 式 中 , 在等式两边 都乘以
e^{j \omega k} , 然后对
\omega 在
-\pi ~
\pi 之间进行积分得到 :
\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \int_{-\pi} ^\pi \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega将 "
\sum 求和 " 与 "
\int 积分 " 交换位置 ,
\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) \int_{-\pi} ^\pi e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega根据 ① 式子的推导结果 ,
n = k 时 ,
\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 2\pi ,
n \not= k 时 ,
\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 0 ,
\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega =\begin{cases}2\pi x(k) & n=k \\\\ 0 & n \not= k \end{cases}将
2\pi 除到左边 , 即可得到下面的式子 :
x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega是
X(e^{j \omega}) 的 序列傅里叶反变换 ISFT ;
三、序列存在傅里叶变换的性质
x(n) 序列存在 " 序列傅里叶变换 SFT " 的充分条件是 "
x(n)序列绝对可和 " :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty|X( e^{j \omega } )| = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty注意上述是充分条件 ,
x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "
x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数
\delta(\omega) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;