刚体运动和坐标变换-1 基础代数 外积 :
和
两个向量的外积代表一个垂直这两个向量的向量,大小为
\bf |a||b|\sin\langle a, b\rangle
\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{Vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix} = \begin{bmatrix} a_2b_3 -a_3b_2\\ a_3b_1 -a_1b_3\\ a_1b_2 -a_2b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \textbf{b} = \textbf{a}^\wedge \textbf{b}
其中,
是互相正交的基底向量。
我们可以将外积的形式写成矩阵乘以向量的形式,即:a的反对称矩阵左乘b
反对称矩阵
,满足
欧式变换 两个坐标系之间的变换,可以被解释成旋转加上平移。
旋转矩阵 :旋转矩阵可以表示向量的旋转,其本质是两个坐标系基底之间的内积构成的矩阵
SO(n) = \{R\in \mathbb{R}^{n\times n}\vert RR^T=I, \det(R) = 1\}
SO(n) 是特殊正交群 , 这个集合包含所有n维的旋转矩阵,行列式为1,并且都是正交矩阵。
正交矩阵,即
平移可以用一个向量
来表示
整个欧式变换,可以理解成:
\textbf a' = R\textbf a + \textbf t
齐次坐标和变换矩阵
为了将平移和旋转融合成一个式子,我们将欧式变换写成如下形式:
\begin{bmatrix} R & \bf t\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bf a\\ 1 \end{bmatrix} = T\begin{bmatrix} \bf a\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bf a'\\ 1 \end{bmatrix}
其中,我们扩展了向量
变成四维,称之为 齐次坐标 ,矩阵
称之为 变换矩阵
同样的,变换矩阵构成的集合,称之为 特殊欧式群
SE(n) = \Bigg \{T = \begin{bmatrix} R & \bf t\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb R^{4\times 4} \vert R\in SO(3), \textbf t \in \mathbb R^3 \Bigg \}
变换矩阵的逆,也可以简单求出,即:
T^{-1} =\begin{bmatrix} R^T & -R^T\bf t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
Rodrigues's Formula
Rodrigues's Formula 是将旋转矩阵
, 变换成旋转轴
\textbf n \in \mathbb R^{3}
和旋转角
的形式:
R = (\cos\theta) \textbf I + (1 - \cos \theta)\textbf n\textbf n^T + (\sin\theta) \textbf n^{\wedge }
更进一步地,我们可以使用旋转矩阵的迹,来计算旋转角:
\tr(R) = 3\cos \theta + (1-\cos\theta) = 2\cos\theta + 1\\ \theta = \arccos(\frac{\tr(R) - 1}{2})
四元数 旋转矩阵用9个变量来描述三个自由度的旋转,具有冗余性,由于我们找不到无歧义的三维旋转表示,我们引入四元素来进行旋转的表示
注意到复数的乘法,表示复平面上的旋转,比如我们对复向量乘一个虚数
,就等于逆时针旋转90度。
比如,对于复数向量
, 代表实数轴上的一个向量
, 代表虚轴正方向的一个向量,即逆时针旋转90度
四元数可以表示为,一个实部 + 三个虚部:
q = q_0 + q_1\textbf i + q_2\textbf j + q_3 \textbf k
三个虚部满足:
\textbf i^2 =\textbf j^2=\textbf k^2=-1\\ \textbf i \textbf j = \textbf k, \textbf j \textbf i =-\textbf k\\ \textbf j \textbf k = \textbf i, \textbf k \textbf j = -\textbf i\\ \textbf k \textbf i =\textbf j, \textbf i \textbf k = -\textbf j
我们可以将四元数记作实部和虚部的向量表示,即:
\textbf q = [s, \textbf v]^T
四元数的运算
不妨记,
\textbf q_a = [s_a, \textbf v_a]^T, \textbf q_b = [s_b, \textbf v_b]^T
其中,
\textbf v_a =x_a\textbf i + y_a \textbf j + z_a \textbf k, \textbf v_b = x_b\textbf i + y_b \textbf j + z_b \textbf k
\textbf q_a \pm \textbf q_b = [s_a\pm s_b, \textbf v_a\pm \textbf v_b]^T
\textbf q_a \textbf q_b = [s_as_b - \textbf v_a^T\textbf v_b, s_a \textbf v_b + s_b \textbf v_a + \textbf v_a\times \textbf v_b]
\Vert \textbf q_a \Vert =\sqrt{s_a^2 + x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}
用四元数表示旋转 假设有一个三维空间点
\textbf p = [x,y,z]\in \mathbb R^3
, 和一个单位四元数
指定的旋转,记旋转后的点为
,我们有矩阵描述:
我们将三维空间点,记成一个虚四元数,即:
\textbf p = [0, x, y, z]^T = [0, \textbf v]^T
则旋转后的点,可以被表示成:
\textbf p' = \textbf q\textbf p\textbf q^{-1}
这个点也是一个虚四元数
Proof:
假设旋转四元数为
\textbf q = [s, a, b, c]^T = [s, \textbf v_q]
, 可得
\textbf q^{-1} = [s, -a, -b, -c]^T \cdot \frac{1}{s^2 + a^2 + b^2 + c^2}
从而:
注意到,
\textbf v \times \textbf v_q
的结果是和
以及
都垂直,所以
\textbf v\times \textbf v_q \times -\textbf v_q = 0
-\textbf v^T\textbf v_q s - s\textbf v^T (-\textbf v_q) = 0