【计算理论】可判定性 ( 计算模型与语言 | 区分 可计算语言 与 可判定语言 | 证明 通用图灵机语言是 可计算语言 | 通用任务图灵机 与 特殊任务图灵机 )

文章目录

• 一、计算模型与语言
• 二、区分 可计算语言 与 可判定语言
• 三、证明

语言 可计算

• 四、通用 ( Universal ) 任务图灵机 与 特殊任务图灵机

一、计算模型与语言

计算模型是逐步进行扩张的 :

自动机

下推自动机 (

个栈 )

下推自动机 (

个栈 )

图灵机

所对应的语言也是逐步进行扩张的 :

正则语言

上下文无关语言

可计算语言

正则语言 对应的 计算模型 是 确定性有限自动机 ,

上下文无关语言 对应的 计算模型 是 下推自动机 ,

可计算语言 对应的 计算模型 是 图灵机 ,

可判定语言 对应的 计算模型 是 判定机 ,

判定机 是一种 特殊的 图灵机 , 是图灵机的子集 ;

可判定语言 是 可计算语言 的子集 ;

图灵机 的 可计算语言 , 是计算机科学的研究领域 ;

二、区分 可计算语言 与 可判定语言

找一个特例语言 , 区分 可计算语言 与 可判定语言 ;

图灵机的可接受问题 :

将计算问题进行形式化 ,

是图灵机 ,

是字符串 , 如果

图灵机 接受

是字符串 , 将所有的可接受的

是字符串放在一个集合中 , 组成的语言 称为

语言 ;

语言 称为 图灵机可接受的 ;

语言 是可计算的 , 但 不是可判定的 ;

该结论可以区分 可判定语言 与 可计算语言 ;

三、证明

语言 可计算

证明 :

语言 是可计算的 , 但 不是可判定的 ;

证明过程 : 构造图灵机

,

① 字符串 : 给定一个输入字符串 ,

, 即 在 图灵机

上接受的字符串

;

② 模仿 : 字符串输入到 图灵机

之后 , 将自己想象成

, 模仿 图灵机

在 字符串

上进行计算 ;

③ 接受 / 拒绝 状态 : 如果 图灵机

进入接受状态 , 则 图灵机

也进入接受状态 , 如果图灵机

进入拒绝状态 , 则 图灵机

也进入拒绝状态 ;

④ Loop 循环状态 : 图灵机

在

字符串上计算时 , 可能有第

种可能性 , 即进入 Loop 循环状态 , 永不停机 ; 此时 图灵机

也只能进入 Loop 状态 ;

现在 图灵机

模仿的是 图灵机

在 字符串

上的计算 , 图灵机

进入什么状态 , 图灵机

就进入什么状态 ;

很显然是 图灵机 , 因此

语言 对应的计算问题是可计算的 ;

证明

语言 不可判定 , 在下一篇博客中证明 ;

四、通用 ( Universal ) 任务图灵机 与 特殊任务图灵机

下面开始证明

语言 对应的计算问题 是 不可判定的 ;

根据 丘奇-图灵 命题 , 图灵机 等于 算法 ;

图灵机

= " 在输入字符串

上 ,

是图灵机 ,

是字符串 , 则有 ① 模拟

在

上进行计算 , ② 如果

进入接受状态 , 则

接受 ,

拒绝

拒绝 ,

Loop

也 Loop "

上述 等号 左侧是 图灵机

, 等号 右侧 是 算法 ;

等号 就是 丘奇-图灵 命题 ;

是通用 ( Universal ) 图灵机 ,

① 特殊任务图灵机 : 一般情况下 计算模型 是执行一个 特定任务 , 给定一个任务 , 给定一个输入 , 图灵机进行计算 , 然后输出结果 ;

② 通用任务图灵机 :

图灵机

不是特殊任务图灵机 , 而是一个 一般任务图灵机 , 该图灵机可以执行各种操作 ,

将各种图灵机 , 进行编码 , 输入到通用图灵机

中 , 通用图灵机

就会模仿 特殊图灵机

在字符串

上进行计算 ;

通用图灵机

的主要任务就是 模仿所有其它 特殊图灵机

进行计算 ;

计算机刚出现时 , 每个计算机只能执行特殊的任务 ,

真正的通用任务计算机是 冯诺依曼 设计的 , 可以执行所有的计算任务 ;