【集合论】序关系 ( 哈斯图示例 | 整除关系哈斯图 | 包含关系哈斯图 | 加细关系哈斯图 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:08:47

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一、哈斯图示例 ( 整除关系 )

集合

A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

,

集合

A

上的整除关系 “

|

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<A, |>

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

绘制上述偏序集的哈斯图 :

1

是最小的 ,

1

能整除所有的数 ;

1

上面的一层是素数 , 素数只能被

1

和其本身整除 ; 素数肯定是覆盖

1

的 ; 即素数与

1

之间没有元素 ;

素数之上的数 , 由素数相乘的数组成 ;

6

既可以整除

2

, 又可以整除

3

, 因此其既覆盖

2

, 又覆盖

3

;

10

既可以整除

2

, 又可以整除

5

, 因此其既覆盖

2

, 又覆盖

5

;

15

既可以整除

3

, 又可以整除

5

, 因此其既覆盖

3

, 又覆盖

5

;

4

可以整除

2

, 因此

4

覆盖

2

;

9

可以整除

3

, 因此

9

覆盖

3

;

二、哈斯图示例 ( 包含关系 )

集合

A = \{ a, b , c \}

,

集族

\mathscr{A}

包含于

A

集合的幂集 ,

\mathscr{A} \subseteq P(A)

,

集族

\mathscr{A} = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a , b \} , \{ b,c \} , \{ a, c \} \}

集族

\mathscr{A}

上的包含关系 “

\subseteq

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<\mathscr{A} , \subseteq >

空集包含于所有集合 , 是最小的 , 在哈斯图最下面 ;

空集之上是单元集 , 单元集覆盖空集 , 它们之间并不会有第三个元素 ;

三个单元集之间相互没有包含关系 , 是不可比的 ;

单元集之上是双元集 , 每个双元集之下就是其包含的对应的单元集 ;

三、哈斯图示例 ( 加细关系 )

加细关系是有序对集合 , 其中每个有序对的元素是集族 ;

集合

A

非空 ,

\pi

是

A

集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号

\preccurlyeq_{加细}

表示 ;

加细关系

\preccurlyeq_{加细}

符号化表示 :

\preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \}

前提 :

集合

A = \{ a, b , c , d \}

集族

\mathscr{A}_1= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} \}

集族

\mathscr{A}_2 = \{ \{ a , b \} , \{ c , d \} \}

集族

\mathscr{A}_3= \{ \{ a,c \} , \{ b,d\} \}

集族

\mathscr{A}_4= \{ \{ a \} , \{ b, c , d \} \}

集族

\mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c , d \} \}

集族

\mathscr{A}_6 = \{ \{ a , b , c , d\} \}

上述集族都是

A

集合的划分 ;

划分关系的哈斯图 :

\mathscr{A}_1

是所有划分的加细 , 是最细的划分 , 在哈斯图最下面 ;

所有的划分都是

\mathscr{A}_6

的加细 , 是最粗粒度的划分, 在哈斯图最上面 ;

\mathscr{A}_5

既是

\mathscr{A}_2

的加细 , 又是

\mathscr{A}_4

的加细 ;

\mathscr{A}_3

与

\mathscr{A}_4

互相不是对方的加细 , 不可比 ;

\mathscr{A}_2

与

\mathscr{A}_4

互相不是对方的加细 , 不可比 ;

\mathscr{A}_2

与

\mathscr{A}_3

互相不是对方的加细 , 不可比 ;

\mathscr{A}_3

与

\mathscr{A}_5

互相不是对方的加细 , 不可比 ;

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原始发表：2020-10-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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