文字对称中的数学与魔术（四）——魔术《3 or 8》

在前面的文章里，我们介绍了语言文字的对称性，包括阿拉伯数字，英语和汉语。其对称性主要是图形中最基础的轴对称和中心对称，以及抽象序列的回文对称，相关内容请戳：

文字对称中的数学与魔术（三）——汉字到中文的对称性

文字对称中的数学与魔术（二）——英文字母到单词的对称性

文字对称中的数学与魔术（一）——阿拉伯数字的对称性

从今天开始我们进入魔术部分的介绍，讲了那么多理论，这些文字的对称性究竟是怎样应用在魔术中的呢？其实这里的应用方法，和上一个对称系列《对称、群论与魔术（十一）——魔术《百变箭头》等和系列总结》中的主要魔术类型，即对称合理操作的原理是比较类似的，即对称合理等价的操作使得魔术师的选择都合理，但是却是精心选择的唯一能达成魔术巧合效果的方法。只不过这里合理的基础，都源于这些文字自身的对称性罢了。

下面进入第一个作品，这个作品之美，也是引起我要为文字对称单独做一个系列的起源。

3 or 8

先来看表演。

视频1 3 or 8

这个魔术源自Karl Fulves的系列作品Fine Print，大师们的佳作总是遗落在各个不起眼的角落，需要用心才能挖掘得到。这里最重要的原理应当是CATO原理的不变性，当然这也是一种对称不变性质的应用，涉及到一系列CATO和类似相关的操作去保持需要性质的不变，这些内容我们留到CATO的专门文章里去讲，这里先不展开。

但CATO原理的魔术有个最大的问题，就是如果没有一些情节设计或者梗的加入，单独拿出来看是有些乏味的。于是这里结合图形对称关系的一个梗，得到了一个还不错的意料之外的结局。

具体来说，有这么几个要点：

1. 8可以看作3以及其中心对称图的并集。换句话说，一个8可以由一个3和另一个中心对称的3组成（这已经不是个数字了）。（也可以理解成轴对称的镜像，但具体使用哪种，需要看魔术需求）
2. 在扑克牌的所有花色都是左右对称的，但只有方块上下也对称形成Klein-4群，也有中心对称性。
3. 综合起来看，其实轴对称实际对应的物理操作是翻转，但是会使得图案需要透视去看其背面才是，不然就真的需要比对着去画这个镜像，都不太现实。而中心对称则是十分自然可行的徒手操作，而仅有方块满足其不变性，于是我们就可以得到那几乎唯一的方案了。

本质上，我们写的纸条内容是这样一个水平序列：方块，中心对称3，3，红心，这样4个字符。由1，我们可以把其展现成表面“方块8红心”的意思，而当从中间剪开后，各自剩下两个字符，右边是自然的3红心，而左边的长度为2的序列经过旋转以后，恰好可以得到3，方块，这得益于2提到的方块性质。当然，还有个小细节是，我们并不太在意到底是先显示花色还是点数，也都是合理对称的展现，因此中心对称带来的序列上序的倒转没有显示出明显的不合理。

一个小改进的历程

最后简单提一下这个魔术的setting。因为最终呈现的是两个3的朝向和其他牌不同，那根据CATO原理，这两张3所处的位置奇偶性和正反面两个C2群的直积群D2，对应的元素和另外6张牌都不相同。但理论上，3可以处于任何位置，只要正反匹配就可以。而因为初始朝向应该尽量朝同一个面，因此也很容易去凑一些操作来达成需要的setting结果。

经过试验，这里的setting做法是把两个3置于第3和7两个位置，注意这两个位置其实是对称的，表现在一个环上就是这两个点处在圆的直径两端，从其中一个点沿着任何方向走向另一个点的距离都是环长度的一半。或者按照对称的观点就是，任意环上点到这两个点的有向距离之和刚好是环的大小。

那这有什么用呢，用处在于这两张牌距离不变的位置组合只有4个，而不是8个。而且我们可以对牌叠进行所有不破坏距离的操作，比如切牌，reverse等等，那其等距离4的性质一直保持着。而因为扑克牌序列有两个度量方向，所以其真实需要的(3, 7)的位置组合，也可以由(2, 6)经由反向数牌来达成，剩下的(1, 5)和(4, 8)则是另一组情况，而这一组情况的特征是，两个3中有一个处于头部或者尾部，因此，我只要保证没有3处在头尾，距离为4保持，那么对称地选择好计数方向，就可以获取(3, 7)这个位置组合了。

此时，执行一个叫543的奇怪操作，即依次地把前5,4,3张牌翻转过来，操作完成以后可以看到，原来6,7,8位置的牌自然没变，符合7处在不同集合的要求，原第3张牌正面向上变成了第二张是唯一和其余CATO性质不同的牌，其他也都无误，就完成了这个setting。

一开始我还以为这么一个操作到完成这个魔术的setting的设计纯属巧合，但当我拿着按照A~K排列好的扑克牌真的进行了一遍实验以后才发现，这个每次拿起k张牌翻转，k每次都比前一次小的操作，等价于一次Gilbreath shuffle！当然，如果你从倒数第二张开始，每次都往上减少一张地翻转，直到最后一张，那这不仅是Gilbreath shuffle，而是升级成reverse + faro shuffle，共同构成一次milk shuffle（不考虑朝向）！我做梦也没想到，这样一个操作居然和milk shuffle在排列结果上是等价的！

而这里milk shuffle带来的位置奇偶性的变化，和真的reverse操作（而不是count）刚好保持了CATO性质，至于543缺省的2和1两部操作，2张的反转本来就是cato性质保持的，而1则改的就是第3张牌。因此，刚好使得原第3张牌与目标方向相反，共同和第7张的变化形成了呼应。

这一性质甚至可以推广到n张牌，当n是偶数时，假设执行reverse(n - 3:3)共(n - 5)次操作，那么相当于拿着前面n - 3张，进行一次n / 2张reverse后的一次底部为基准的in faro shuffle，即这么一个特殊的Gilbreath Shuffle。于是此时头部第2张的原索引为n / 2 - 2，这与倒数第二张的n - 2的差刚好是n / 2。也即距离为半个序列长度。

而整个洗牌的结果，也是完全高度对称的，就是一次不完全的reverse后的自由长度的faro shuffle。所以这个镜像位置的差值保持性质本质上也是由faro shuffle带来的。

比如，n = 12，对于4和10位置的两张牌，处在周期同位置上，mod 6的一致性，reverse以后，这个性质变成了镜像位置上的，而经过自由faro以后，仍然在镜像位置上，而这两张牌也依旧是原来那个4和10位置的牌，变在了一个镜像位置对上。也就是10和1，即为所求的cato性质改变的牌。

当然奇数张的时候，会变成移动对称轴的情况。

关于这部分的详细探讨，我们在完美洗牌和排列相关章节再详细阐述，这里先说到这里，不再展开。

好了，那既然有了这么一个我们所能掌控的结构，能不能把两个3的位置在(1, 5)或(4, 8)也给解决了呢？还真行，如果位置在(4, 8)，此时执行k = 6,5,4,3这4次翻转，就能够使得所有牌各就各位，原来的4,8两张处在相同的和其他不同的CATO相位上，大功告成！而(1, 5)则自然而然地倒着数即可。

这一结论也源于这样的翻转本质上就是一个自由faro结构，我们能把没有洗到的牌控制在合适的张数范围上就好了。比如这里6543本质上相当于65432上少了一个2，而2是cato性质保持的，省略即可。而6不能省的原因是，排列操作并不都有交换律。

所以，我的最终版本里，是强选这包括这两张位置差距为4的3，共5张牌。方法是强选中心位置，示例选择左右两张，然后任意选边共4张，只要要求不全在同一侧即可。选下来以后，两张3距离为4的对称位置就确定了，可以数牌，切牌。最后注意其最终位置需要在等效的(3, 7)或者(4, 8)，此时分别执行看起来很随意的5,4,3或6,5,4,3的变种Gilbreath shuffle，即可完成setting，后续的事情，就可以交给CATO和对称的性质啦！

今天的作品算是牛刀小试，接下来还有大招，敬请期待！

老规矩，视频抢先看！

视频2 69式数字预言

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！