Python解决高等数学问题

北山啦

发布于 2022-11-27 13:43:37

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使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题

Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。它可以在 LaTeX 中显示结果。

Sympy官网

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看到这图，是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。

from sympy import *
import sympy

输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号

x = Symbol("x")
y = Symbol("y")

1. 实用技巧

1.1 符号函数

sympy提供了很多数学符号，总结如下

虚数单位

sympy.I

自然对数

sympy.E

无穷大

sympy.oo

圆周率

 sympy.pi

求n次方根

 sympy.root(8,3)

取对数

sympy.log(1024,2)

求阶乘

sympy.factorial(4)

三角函数

sympy.sin(sympy.pi)
sympy.tan(sympy.pi/4)
sympy.cos(sympy.pi/2)

1.2 展开表达式expand

f = (1+x)**3
expand(f)

\displaystyle x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

1.3 泰勒展开公式series

ln(1+x).series(x,0,4)

\displaystyle x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right)

sin(x).series(x,0,8)

\displaystyle x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + O\left(x^{8}\right)

cos(x).series(x,0,9)

\displaystyle 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \frac{x^{8}}{40320} + O\left(x^{9}\right)

(1/(1+x)).series(x,0,5)

\displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + O\left(x^{5}\right)

tan(x).series(x,0,4)

\displaystyle x + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right)

(1/(1-x)).series(x,0,4)

\displaystyle 1 + x + x^{2} + x^{3} + O\left(x^{4}\right)

(1/(1+x)).series(x,0,4)

\displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + O\left(x^{4}\right)

1.4 符号展开

a = Symbol("a")
b = Symbol("b")
#simplify( )普通的化简
simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
#trigsimp( )三角化简
trigsimp(sin(x)/cos(x))
#powsimp( )指数化简
powsimp(x**a*x**b)

\displaystyle x^{a + b}

2. 求极限limit

limit(sin(x)/x,x,0)

\displaystyle 1

f2=(1+x)**(1/x)

f2

\displaystyle \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}

重要极限

f1=sin(x)/x
f2=(1+x)**(1/x)
f3=(1+1/x)**x
lim1=limit(f1,x,0)
lim2=limit(f2,x,0)
lim3=limit(f3,x,oo)
print(lim1,lim2,lim3)

1 E E

dir可以表示极限的趋近方向

f4 = (1+exp(1/x))
f4

\displaystyle e^{\frac{1}{x}} + 1

lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")
lim4

\displaystyle 1

lim5 = limit(f4,x,0,dir="+")
lim5

\displaystyle \infty

3. 求导diff

diff(函数,自变量,求导次数)

3.1 一元函数

求导问题

diff(sin(2*x),x)

\displaystyle 2 \cos{\left(2 x \right)}

diff(ln(x),x)

\displaystyle \frac{1}{x}

3.2 多元函数

求偏导问题例如求解该函数对x的偏导和对y的偏导

\displaystyle \left(x_{1} + x_{2} + 6\right)^{2} + \left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} + 2\right)^{2}

f关于x的偏导数,y是常量

f = (6+x1+x2)*(6+x1+x2)+(2-3*x1-3*x2-x1*x2)*(2-3*x1-3*x2-x1*x2)
fx = diff(f,x1)

\displaystyle 2 x_{1} + 2 x_{2} + \left(- 2 x_{2} - 6\right) \left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} + 2\right) + 12

如果需要求特定点的值，我们可以通过subs()方法来填入

fx.subs({x1: -4, x2: 6})

\displaystyle -344

4. 积分integrate

4.1 定积分

函数的定积分: integrate(函数，(变量，下限，上限))
函数的不定积分: integrate(函数,变量)

f = x**2 + 1
integrate(f,(x,-1.1))

\displaystyle -1.54366666666667

integrate(exp(x),(x,-oo,0))

\displaystyle 1

4.2 不定积分

f = 1/(1+x*x)
integrate(f,x)

\displaystyle \operatorname{atan}{\left(x \right)}

举例：

from sympy import *
x = Symbol('x'); t = Symbol('t')    # 定义两个变量
lmt = limit(
    (integrate(t*cos(t),(t,0,x))-1+cos(x)) / (sqrt(x*tan(x)+1)-sqrt(x*sin(x)+1)), 
    x,
    0)
print(lmt)  # -1/3

-1/3

4.3 双重积分

f = (4/3)*x + 2*y
integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))

\displaystyle 11.6666666666667

5. 求解方程组solve

#解方程组
#定义变量
f1=x+y-3
f2=x-y+5
solve([f1,f2],[x,y])

{x: -1, y: 4}

6. 计算求和式summation

计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)

sympy.summation(2 * n,(n,1,100))

10100

到这里就结束了，如果对你有帮助，欢迎点赞关注评论，你的点赞对我很重要。在此也祝愿大家可以把数学学好

参考:

https://docs.sympy.org/latest/index.html

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原始发表：2021-03-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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