大学生数学竞赛非数专题三（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:55:20

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专题三一元积分学（1）

3.2.1 求原函数

3.1 （莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）设

f^{'}(\sin^2 x)=\cos2x+\tan^2 x

，

0 < x < 1

，试求函数

f(x)

解：根据倍角公式以及三角函数关系式，有

\cos 2x=1-2\sin^2 x

，

\displaystyle \tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}

，可以令

\sin^2 x=t

，则

\displaystyle f^{'}(t)=1-2t+\frac{t}{1-t}=-2t-\frac{1}{t-1}

，积分得

f(t)=-t^2-\ln|t-1|+C

，而且

0 < x < 1

，所以

0 < t < 1

，于是

f(x)=-x^2-\ln(1-x)+C

3.2 （南京大学1993年竞赛题）已知定义在

上的函数

f(x)

满足

f^{'}(x)=1,x\in(0,1]

，

f^{'}(x)=x

x\in(1,+\infty)

，而

f(0)=1

，求

f(x)

解：利用换元法，令

\ln x=t

，则带入原式得，

f^{'}(t)=1,-\infty < t \leq 0

，

f^{'}(t)=e^{t}

，

t>0

；再积分，得

f(t)=t+C_{1}

，

-\infty < t \leq 0

，

f(t)=e^{t}+C_{2}

，

t > 0

；令

t=0

，则

f(0)=1=C_{1}=1+C_{2}

，所以

C_{1}=1

C_{2}=0

，于是，可以得出最终的表达式，

f(x)=x+1

，

-\infty < x\leq 0

，

f(x)=e^{x}

，

e^x > 0

3.3 （江苏省1991年竞赛题）设

f(x)

在

[0,+\infty)

上连续，在

(0,+\infty)

内可导，

g(x)

在

(-\infty,+\infty)

内有定义且可导，

g(0)=1

，当

x>0

时，

f(x)+g(x)=3x+2

，

f^{'}(x)-g^{'}(x)=1

f^{'}(2x)-g(-2x)=-12x^2+1

，求

f(x)

与

g(x)

的表达式.

解：将原式中

f^{'}(x)-g^{'}(x)=1

两边进行积分得

f(x)-g(x)=x+C_{1}

，根据

f(0)=g(0)=1

，可以得

C_{1}=0

，因此

f(x)-g(x)=x

，将上式与

f(x)+g(x)=3x+2

联立，解出

f(x)=2x+1

，

g(x)=x+1

\qquad(x \geq 0)

，在式子

f^{'}(2x)-g^{'}(-2x)=-12x^2+1

，令

u=2x

，有

f^{'}(u)-g^{'}(-u)=-3u^2+1

，同理积分得

f(u)+g(-u)=-u^3+u+C_{2}

，又根据

f(0)=g(0)=1

，所以得

C_{2}=2

，所以

g(-u)=-u^3+u+2-f(u)=-u^3-u+1

\qquad(u\geq 0)

，所以

g(x)=x^3+x+1

\qquad(x < 0)

3.4 （莫斯科全苏大学生1975年竞赛题）求满足下列条件的可微函数

f(x)

：对任意的

，

y(x\neq y)

，有

\dfrac{f(x)-f(x)}{y-x}=f^{'}(\alpha x+\beta y)

，这里

\alpha\geq 0

，

\beta\geq 0

，且

\alpha+\beta=1

解：利用换元，令

x=u-\beta v

，

y=u+\alpha v

，则有

y-x=v(v\neq 0)

，

\alpha x+\beta y=u

，所以有

f(y)-f(x)=f(u+\alpha v)-f(u-\beta v)=vf^{'}(u)

，再对

求两次导就可以得

\alpha^2f(u+\alpha v)=\beta^2f^{''}(u-\beta v)

，即有

\alpha^2f(y)=\beta^2f^{''}(x)

，对于

\forall x,y(x\neq y)

均成立，

（1）.若

\alpha\neq \beta

，则有

f^{''}(x)=0

，积分所求得的函数为

f(x)=C_{1}x+C_{2}

;

（2）.若

\alpha=\beta=\dfrac{1}{2}

，则有

f^{''}(x)=C_{1}

，积分得所求函数为

f(x)=\dfrac{C_{1}}{2}x^2+C_{2}x+C_{3}

;

上式中，

C_{1}

，

C_{2}

，

C_{3}

均是任意常数。

今天的题目就到这里了，感谢大家的关注，主要就是换元求原函数的思想，其次注意函数的连续性，都是基本操作，大家可以多看两遍，熟悉一下基本的操作，熟能生巧，希望大家每天都有一份收获。有问题留言。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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