每日一练4.20

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ctex}
\title{接力题典 1800}
\date{4月20日}
\author{小熊}

\begin{document}
     \maketitle
   $$
     \text{基础篇\ 41\ 设}f\left( x \right) \text{在}\left[ a,b \right] \text{上连续，在}\left( a,b \right) \text{内可导，且}f\left( a \right) =f\left( b \right) =0,\text{证明;}
     $$
     $$
     \left( 1 \right) \ \text{存在}\xi \in \left( a,b \right) \text{，使得}f^’\left( \xi \right) =2\xi f\left( \xi \right) ;
     $$
     $$
     \left( 2 \right) \ \text{存在}\eta \in \left( a,b \right) \text{，}s\text{使得}\eta f^’\left( \eta \right) +f\left( \eta \right) =0.
     $$
     $$
     \text{解：}\left( 1 \right) \text{令}\varphi \left( x \right) =e^{-x^2}f\left( x \right) \text{，}\varphi ^{'}\left( x \right) =-2xe^{-x^2}f\left( x \right) +e^{-x^2}f\left( x \right) \text{，}e^{-x^2}\ne 0\text{，}
     $$
     $$
     \text{由于}f\left( a \right) =f\left( b \right) =0\text{，所以得到}\varphi \left( a \right) =\varphi \left( b \right) =0\text{，由罗尔定理得到，存在}
     $$
     $$
     \xi \in \left( a,b \right) \text{内，使得}\varphi ^{'}\left( \xi \right) =0\text{，即得证}f^{'}\left( \xi \right) =2\xi f\left( \xi \right) \text{；}
     $$
     $$
     \left( 2 \right) \text{令}G\left( x \right) =xf\left( x \right) \text{，}G^{'}\left( x \right) =f\left( x \right) +xf^{'}\left( x \right) \text{，}G\left( a \right) =G\left( b \right) ,\text{所以由罗尔定理，}
     $$
     $$
     \text{存在一点}\eta \in \left( a,b \right) \text{，使得}G^{'}\left( x \right) =0\text{，则有}\eta f^{'}\left( \eta \right) +f\left( \eta \right) =0.
     $$
     $$
     \text{解题思路；对于这种问题，一般就是直接考虑函数的构造问题，对于这两问都可以采用}
     $$
     $$
     \text{还原法来找原函数，}g\left( x \right) f\left( x \right) +f^{'}\left( x \right) =0,\text{将}f\left( x \right) \text{集中到一边，即得到}\ln e^{g\left( x \right)}+\ln f\left( x \right) =0
     $$
     $$
     \text{故原函数就可以得到}M\left( x \right) =e^{g\left( x \right)}f\left( x \right) \text{，只是将不同的}g\left( x \right) \text{进行代换。}
     $$
     $$
     42\ \text{设}f\left( x \right) \text{在}\left[ 0,1 \right] \text{上连续，证明;存在}\xi \in \left( 0,1 \right) \text{内，使得}\int_0^{\xi}{f\left( t \right) dt+}\left( \xi -1 \right) f\left( \xi \right) =0.
     $$
     $$
     \text{解：将题目中的}\xi \text{换成}x\text{进行代换，整理得}\int_0^x{f\left( t \right) dt+xf\left( x \right)}-f\left( x \right) =0,
     $$
     $$
     \text{即还原得}\left( x\int_0^x{f\left( t \right) dt-\int_0^x{f\left( t \right) dt}} \right) ^’=0\text{，}G\left( x \right) =x\int_0^x{f\left( t \right) dt-\int_0^x{f\left( t \right) dt}}\text{，}
     $$
     $$
     G\left( 0 \right) =0,G\left( 1 \right) =0\text{，由罗尔定理得存在一点}\xi \in \left( 0,1 \right) \text{内，使得}G^{'}\left( \xi \right) =0\text{，}
     $$
     $$
     \text{即得}\int_0^{\xi}{f\left( t \right) dt+}\left( \xi -1 \right) f\left( \xi \right) =0\text{。}
     $$
     $$
     \text{解题思路：首先对函数进行处理，注意一般将要求的式子进行换元，然后进行}
     $$
     $$
     \text{还原，注意变限积分的式子的处理，求导的过称注意代换，后面就是找罗尔定理}
     $$
     $$
     \text{的条件即可得出结果。}
     $$
     $$
     \text{提高篇\ 73\ 当}x>0\text{时，证明：}\frac{arct\tan x}{\ln \left( 1+x \right)}\le \frac{\sqrt{2}+1}{2}.
     $$
     $$
     \text{解：用拉格朗日中值定理做的话比较简单，}G\left( x \right) =\arctan x,g\left( x \right) =\ln \left( 1+x \right) \text{，}
     $$
     $$
     \text{注意}G\left( 0 \right) =0,g\left( 0 \right) =0\text{，由柯西中值定理，存在}\xi \in \left( 0,x \right) \text{内，使得}
     $$
     $$
     \frac{arct\tan x}{\ln \left( 1+x \right)}=\frac{G\left( x \right) -G\left( 0 \right)}{g\left( x \right) -g\left( 0 \right)}=\frac{G^{'}\left( \xi \right)}{g^{'}\left( \xi \right)}=\frac{1+\xi}{1+\xi ^2}\text{，令}\varphi \left( x \right) =\frac{1+x}{1+x^2}\text{，}
     $$
     $$
     \varphi ^{'}\left( x \right) =\frac{1-2x-x^2}{\left( 1+x^2 \right) ^2}=0\text{，得}x=\sqrt{2}-1\text{，当}x\in \left( 0,\sqrt{2}-1 \right) \text{，}\varphi ^{'}\left( x \right) >0,
     $$
     $$
     \text{反之在}x\in \left( \sqrt{2}-1,+\infty \right) \text{，}\varphi ^{'}\left( x \right) <0.\text{故}\varphi \left( x \right) _{\max}=\varphi \left( \sqrt{2}-1 \right) =\frac{\sqrt{2}+1}{2}.
     $$
     $$
     \text{即得证。本题还可以构造函数，直接用单调性直接证明大小。}
     $$
     $$
     \text{解题思路：首先看证明的式子，左边是函数带有参数进行处理的话，右边是一个具体的值。想到的是柯西中值}
     $$
     $$
     \text{定理的应用，然后找其中值定理的条件，后面得到一个关系式子之后，实质就是求函数的最大值，故对函数进行求导}
     $$
     $$
     \text{然后就是函数单调性的应用，先找到函数的驻点，然后利用第二极值判断条件，得到函数的最大值，后面直接代换就}
     $$
     $$
     \text{证明结果。}
     $$
\end{document}