NOIP2016 普及组 T3
小 K 是一个海港的海关工作人员,每天都有许多船只到达海港,船上通常有很多来自不同国家的乘客。
小 K 对这些到达海港的船只非常感兴趣,他按照时间记录下了到达海港的每一艘船只情况;对于第 iii 艘到达的船,他记录了这艘船到达的时间 tit_iti (单位:秒),船上的乘客数 kik_iki,以及每名乘客的国籍 xi,1,xi,2,…,xi,kx_{i,1}, x_{i,2},\dots,x_{i,k}xi,1,xi,2,…,xi,k。
小K统计了 nnn 艘船的信息,希望你帮忙计算出以每一艘船到达时间为止的 242424 小时(242424 小时 =86400=86400=86400 秒)内所有乘船到达的乘客来自多少个不同的国家。
形式化地讲,你需要计算 nnn 条信息。对于输出的第 iii 条信息,你需要统计满足 ti−86400<tp≤tit_i-86400<t_p \le t_iti−86400<tp≤ti 的船只 ppp,在所有的 xp,jx_{p,j}xp,j 中,总共有多少个不同的数。
第一行输入一个正整数 nnn,表示小 K 统计了 nnn 艘船的信息。
接下来 nnn 行,每行描述一艘船的信息:前两个整数 tit_iti 和 kik_iki 分别表示这艘船到达海港的时间和船上的乘客数量,接下来 kik_iki 个整数 xi,jx_{i,j}xi,j 表示船上乘客的国籍。
保证输入的 tit_iti 是递增的,单位是秒;表示从小K第一次上班开始计时,这艘船在第 tit_iti 秒到达海港。
保证 1≤n≤1051 \le n \le 10^51≤n≤105,\sum{k_i} \le 3\times 10^5 ,1≤xi,j≤1051\le x_{i,j} \le 10^51≤xi,j≤105, 1≤ti−1≤ti≤1091 \le t_{i-1}\le t_i \le 10^91≤ti−1≤ti≤109。
其中 ∑ki\sum{k_i}∑ki 表示所有的 kik_iki 的和。
输出 nnn 行,第 iii 行输出一个整数表示第 iii 艘船到达后的统计信息。
3
1 4 4 1 2 2
2 2 2 3
10 1 3
3
4
4
4
1 4 1 2 2 3
3 2 2 3
86401 2 3 4
86402 1 5
3
3
3
4
【样例解释 1】
第一艘船在第 111 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第一艘船,共有 444 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,24,1,2,24,1,2,2,共来自 333 个不同的国家;
第二艘船在第 222 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第一艘船和第二艘船,共有 4+2=64 + 2 = 64+2=6 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,2,2,34,1,2,2,2,34,1,2,2,2,3,共来自 444 个不同的国家;
第三艘船在第 101010 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第一艘船、第二艘船和第三艘船,共有 4+2+1=74+2+1=74+2+1=7 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,2,2,3,34,1,2,2,2,3,34,1,2,2,2,3,3,共来自 444 个不同的国家。
【样例解释 2】
第一艘船在第 111 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第一艘船,共有 444 个乘客,分别是来自国家 1,2,2,31,2,2,31,2,2,3,共来自 333 个不同的国家。
第二艘船在第 333 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第一艘船和第二艘船,共有 4+2=64+2=64+2=6 个乘客,分别是来自国家 1,2,2,3,2,31,2,2,3,2,31,2,2,3,2,3,共来自 333 个不同的国家。
第三艘船在第 864018640186401 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第二艘船和第三艘船,共有 2+2=42+2=42+2=4 个乘客,分别是来自国家 2,3,3,42,3,3,42,3,3,4,共来自 333 个不同的国家。
第四艘船在第 864028640286402 秒到达海港,最近 242424 小时到达的船是第二艘船、第三艘船和第四艘船,共有 2+2+1=52+2+1=52+2+1=5 个乘客,分别是来自国家 2,3,3,4,52,3,3,4,52,3,3,4,5,共来自 444个 不同的国家。
【数据范围】
阅读题面,可发现题目要求的是:每艘船到达后,24小时内的不同国家的数量。也就是连续区间内不同元素的个数。那么可以采用尺取法的思想来完成这道题目。该区间的特征即为24小时内,那么只需左、右端点的时间差不超过86400即可。结束时间−开始时间+1<=86400结束时间-开始时间+1<=86400结束时间−开始时间+1<=86400 。
区间的特征判断已处理好,接下来要解决的是:如何统计连续区间内的不同元素个数?
对于每艘船输入的信息有:
可发现,每艘船的到达时间是递增的,也就是呈单调性。每艘船上的人的到达时间是相同的。可将当前船只到达的时间视为区间结束的时间,先根据区间结束时间,将区间开头的元素进行删除,删除掉与区间结束时间差超过24小时的元素。针对每个删除的元素,减去对应国籍统计出的人数,当人数减少至0时,不同国籍数量减一。对应的,将该艘船到达的所有人加入区间,每个人对应的国籍人数增加,若该国籍人数之前为0,则不同国籍数量加一。
人员总数≤3×105\leq 3\times 10^5≤3×105 ,所以可以定义一个计数数组cnt[]
,cnt[x]
为国籍x在24小时内对应的人数。这样能方便统计国籍对应的人数数量,整体时间复杂度为Θ(n×k)\Theta(n\times k)Θ(n×k)。
可用双指针来描述连续区间的左、右端点。
//将24小时外的出队
while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0,不同国籍数减一
L++;//移动左指针
}
for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
scanf("%d",&x);
if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
cha[++R]=node{t,x};//存入数组中,并移动右指针
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
int ti,x;//到达时间、国籍
};
node cha[N];
int main(){
int ans=0;//24小时内,不同国家的数量
scanf("%d",&n);
int L=1,R=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&t,&k);
//将24小时外的出队
while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0,不同国籍数减一
L++;//移动左指针
}
for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
scanf("%d",&x);
if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
cha[++R]=node{t,x};//存入数组中,并移动右指针
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
除了双指针,也可以采用队列来进行实现,队列的队首即区间的左端点;队尾即区间的右端点。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
int ti,x;//到达时间、国籍
};
queue<node> q;
int main(){
int ans=0;//24小时内,不同国家的数量
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&t,&k);
//将24小时外的出队
while(q.size() && q.front().ti+86400<=t){
int x=q.front().x;
q.pop();
cnt[x]--;//x国家人数减少
if(cnt[x]==0) ans--;//若减少至0则不同国籍数量减一
}
for(int j=1;j<=k;++j){//输入该艘船k个人的信息
scanf("%d",&x);
if(cnt[x]==0) ans++;//增加新的国籍
cnt[x]++;//统计国籍数
q.push(node{t,x});//入队
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Q.E.D.