PRML一书中关于贝叶斯曲线拟合结论的推导细节

PRML一书中关于贝叶斯曲线拟合结论的推导细节

我们令训练数据集为

, 对于一个新的点

, 我们希望给出一个预测分布

其中，

是

阶多项式的参数 在PRML一书中，直接给出了这么一个结论

预测分布由高斯分布

给出 其中均值

方差

其中

,

这个结论给的非常突然，让人无所适从，我决定花点时间分析一下，并记录下来，以供大家参考！

如上式所述，其可以被写成积分的形式，我们利用一些结论来进行分析

1. 首先对于t的分布应该是一个高斯分布，

1. 对于分布

, 其正比于先验分布和似然的乘积

    如果$\alpha, \beta$ 已知， 可以写成：

所以我们可以继续将积分式子改写：

从而，对于高斯分布

, 可以写成:

同样的，我们可以写出N个高斯分布乘积的形式

于是，如下：

如果我们将

， 且

则有

注意到，高斯积分的形式

故,

相当于对于一个二次式进行配方，我们简单记作：

从而，

存在一个常数项，即

从而,

代入到原式得

对于指数部分的系数：

而指数部分为:

故，我们可以从上式中，直接推出均值

倘若上述配方成功，方差为