【题解】火星人（康托展开）

题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 1,2,3,⋯。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,4 和 5，当它们按正常顺序排列时，形成了 5 位数 12345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 5 位数 12354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 54321，在所有能够形成的 120 个 5 位数中，12345 最小，它表示 1；12354 第二小，它表示 2；54321 最大，它表示 120。下表展示了只有 3 根手指时能够形成的 6 个 3 位数和它们代表的数字：

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

第一行是火星人的手指数n和科学家的破解参数m，中间一个空格。

第二行是1到n这n个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

n 个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

输入输出样例

输入 #1

5
3
1 2 3 4 5

输出 #1

1 2 4 5 3

说明/提示

题目分析

仔细观察能发现，就是全排列问题。在原序列的基础上求往后全排列的第m个序列内容。

暴力思路就是找出全排列，进行推导，找到往后的第m个序列即可。

介绍一个全排列函数next_permutation ，可以用于求解序列的全排列内容。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a[25];
long long m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	while(m--){
		next_permutation(a+1,a+n+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

此时会超时，因为m的范围特别大，光是执行m次，就已经会超时了，此时我们需要另寻出路。

康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射。可以将一个 1∼n的序列映射为一个数代表该序列在全排列中的排名。并且该过程可逆，可通过排名数字，推导出该序列的内容。

康托展开

将排名数字展开为序列内容。

其中,

表示原数的第i位在当前未出现的元素中排在第几个。位置从右向左，从1到n。

举例说明展开过程：

在 {1,2,3,4,5}5个数的排列组合中，计算(3,4,1,5,2) 的康托展开值。

第一位为3，在当前未出现的元素{1,2,3,4,5}中，小于3的数字有两个1,2，所以a[5]=2。

第二位为4，在当前未出现的元素{1,2,4,5}中，小于4的数字有两个1,2所以a[4]=2。

第三位为1，在当前未出现的元素{1,2,5中，小于1的数字有0个，所以a[3]=0。

第四位为5，在当前未出现的元素{2,5}中，小于5的数字有一个2,，所以a[2]=1。

第五位为2，在当前未出现的元素{2}中，小于2的数字有0个，所以a[1]=0。

根据公式：

所以比(3,4,1,5,2)小的组合有61个，它的排名就是62。

康托逆展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。根据展开过程我们可以逆推回来。

以61进行逆推为例：

推导第一位数，61÷4!=2⋯13,说明a[5]=2,在当前未出现的元素中{1,2,3,4,5}比第一位小的数有两个，所以第一位为3。

推导第二位数，13÷3!=2⋯1,说明a[4]=2,在当前未出现的元素中{1,2,4,5}比第二位小的数有两个，所以第二位为4。

推导第三位数，1÷2!=0⋯1,说明a[3]=0,在当前未出现的元素中{1,2,5}比第三位小的数有零个，所以第三位为1。

推导第四位数，1÷1!=1⋯0,说明a[2]=1,在当前未出现的元素中{2,5}比第四位小的数有一个，所以第四位为5。

推导第五位数，0÷0!=0⋯0,说明a[1]=0,在当前未出现的元素中{2}比第五位小的数有零个，所以第五位为2。

通过以上分析，所求排列组合为(3,4,1,5,2)。

整体时间复杂度是

。

优化思路

根据康托展开，先将初始序列展开求值，求出该序列在1∼n的全排列中的排名，再根据m求出最终答案的排名，之后逆展开，求出该排名的序列内容。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull n,m;
int a[25];
ull fac[25]={1};//存放阶乘值fac[x]=x!
int les[25];//les[x]=当前未出现的元素中小于x的个数
vector<int> v;
int main(){
	scanf("%llu%llu",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){//预处理阶乘值
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	}
	for(ull i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		v.push_back(i);//v中存放当前未出现的元素1~n
		les[i+1]=i;//维护les数组
	}
	
	//X=less[n]·(n-1)!+less[n-1]·(n-2)!+... +less[1]·0!
	ull sum=0;//存储展开值
	for(int i=1,j=n;i<=n;i++,j--){
		sum+=les[a[i]]*fac[j-1];//累加当前未出现元素中小于a[i]的个数 与 阶乘的乘积
		for(int k=a[i]+1;k<=n;k++){//维护当出现a[i]后，les数组的变化
			les[k]--;
		}
	}

	m+=sum;//求出答案序列的排名(排名-1)
	//逆展开 求出序列类容
	//m / x = k ... r
	for(int i=n-1,j=1;i>=0;i--,j++){
		ull k=m/fac[i];//求出在当前未出现的元素中，比第j位小的元素个数
		m%=fac[i];//更新余数
		//求出第j位的元素内容
		printf("%d ",v[k]);
		v.erase(v.begin()+k);//已经出现就删除掉
		
	}
	return 0;
}

Q.E.D.