不可能的公平？关于投票的一些知识分享
原创
解题
我们都希望营造一个公平的环境，公平的前提是意见的表达。
简单的投票
我们先来看看最简单的投票，二选一
假设场景：大雄的班级一共50人，现在要在大雄和胖虎之间，进行班长选举，老师发起了投票。
有12 名同学支持大雄，38 名同学支持胖虎
这种情况下，投票的结果毫无疑问是胖虎胜出。这就是最基础的意见达成。以少数服从多数的原则一致性通过。
复杂投票情况
当大家的可选项多样化，刚才的投票模式还适用吗？
我们假设这个班级的同学，都因为疫情被困在学校。哆啦A梦拿出了神奇道具：团购口袋！这个道具每天只能取回一种食物。
这个班级的同学有4种可选的食物：牛肉、巧克力、水果、铜锣烧，大家对自己喜爱的食物进行偏好性投票。
哆啦A梦应该让团购口袋，取回什么物品呢？
每个人的选择
首先，我们有一则共识就是，一个选项能达到半数以上的认可，这个选项就可以通过。
但现实中这种情况很少发生。
每种选择都有若干数量的支持着，我们把各自的倾向做一个抽象
胖虎的方案
胖虎提出了一种方案，叫做最高票当选，first past the post
但是这个方案有他的弊端
小夫的方案
小夫说，最喜欢水果的人最少，我们应该将水果踢出局，选择了水果的，就看第二偏好。选择了水果的9票，加在了巧克力的票数上。现在的选票是 牛肉：巧克力：铜锣烧=15:21:14
小夫说，最喜欢水果的人最少，我们应该将水果踢出局，选择了水果的，就看第二偏好。选择了水果的9票，加在了巧克力的票数上。现在的选票是：牛肉：巧克力：铜锣烧=15:21:14
这个方法叫做 排序复选法（instance runoff)：
这种投票的好处是，可以让结果更能反映大多数人的真实想法。因为你投出的每一票都是有用的，
过半数获胜的方式，让大多数人对结果满意
小夫说，奥斯卡投票刚好是一个很好的案例，来说明 复选排序法 强于 简单多数投票。
我们都知道，奥斯卡的评选流程是：提交、提名、最终选票。这三个阶段。在1945~2009年，奥斯卡的提名数一直是5个。直到2009年81届奥斯卡上，电影《黑暗骑士》的提名资格被挤掉。致使观众大规模不满。奥斯卡的商业价值受到了怀疑。 当年的体面的五部影片是：《本杰明·巴顿奇事》. 《对话尼克松》. 《米尔克》. 《朗读者》. 《贫民窟的百万富翁》
于是奥斯卡进行了一轮改革，将提名数量从5扩充到10，投票方式还是原先的简单多数投票。
在这种投票首先暴露的缺陷是，绝对数量太少。几千人给几百部电影投票，最高票的电影也仅为几百票，票数过于分散。仅有有15%的人投选的影片入围，另外参与投票的85%人不满。
其次，策略性投票也是简单多数投票的顽疾。比如，投票者出于对某部片子的厌恶或恐惧，宁可 将票数投给某个呼声更高的影片。
于是奥斯卡进行了第二轮投票改革，不再强制要求提名数量，并且选用复选排序法.
在2016年改用排序复选法投票.选出的韩国电影<寄生虫>,就是很好的案例,这个投票方式可以排除掉 简单多数投票 的缺陷，选出大多数人都是最不讨厌的奖!
另外雨果奖的投票/奥运会申办城市的投票,也是用这种方式投选出来的哦!
胖虎感到很疑惑，自己本来是赢了，为什么在复选排序投票中输的那么惨.
小夫说，这个多轮淘汰的环节，即使前面的轮次领先，不代表笑到最后。比如2000年奥运会选举。
排序复选法的弊端
哆啦A梦说，水果在没有被人讨厌的情况下被踢出，也是没有道理的。
这像极了政治投票中的老好人， 即使他在所有人心中都是第二位，甚至觉得和第一名也很接近。这足够说明这人很好了。
却被排序复选投票，轻易的干掉。
静香的方案
静香说: 最喜欢水果的人虽然只有9人,但有26人把水果放到第二偏好中呢!
况且并没有人最讨厌水果,凭什么做出就将水果踢出局呢?
我也来提出一个投票方法，叫做 波达计数法（borda count）。
波达计数法其实就是加权求和
静香的方法似乎不错,但大家也怀疑这个方案的公平性
静香告诉大家,金球奖就是以这种方式票选出来的!
波达计数法的弊端
波达计数法最大的问题就是权重不稳定，缺少一个统一科学的标准。从一定意义上来说，指定规则的人可以决定结果。
大雄的方案
静香选出来的水果，真的是大家都更喜欢的吗？
我们来进行一个1对1投票 : 你看有多少人觉得水果比铜锣烧好
又有多少觉得铜锣烧比水果好
比如维基百科就是使用这种投票方法
孔多塞原则：如果一个选项在投票中胜出，它应该可以1对1 PK掉所有选项
孔多塞输家原则：如果一选项在所有的1对1 PK 中都失败，它应该一定会输
孔多塞法的弊端
会有可能发生 剪刀石头布 事件,A比B强,B比C强, 但A又会输于C的..比如我们熟知的田忌赛马.可见这种投票机制,是可以人为操纵投票结果的.
四种策略
以上的案例,我们探讨了四种不同的投票机制, 四种投票方案,得出的结果是完全不同的.
胖虎说的 最高票当选 机制,是日常最常见的,每个人只需选出最倾向的选择,因此其它的偏好也无需登记。比如常见的班长选举等.
小夫说的 排序复选法,它不仅在奥斯卡选出了<寄生虫>,也在雨果奖中选出了<三体>，它能有效降低策略性投票，让结果更能反应大多数人的真实想法，有效缓解负面情绪。
静香说的按名次打分然后用总分定输赢的方法,又叫做”波达计数法”,常见于体育比赛中，一些电竞比赛也有用到。它会引用积分制来避免权重的影响。
大雄所说的按照一对一投票的结果来评比,叫做“孔多塞法”，评选结果会比较少受到其它条件的干涉
那么，就以上的案例来看，采用哪种投票方法是对的呢？
这里我们需要引入投票的基本原则
基于这些原则，我们还会发现一些有趣的特例
独裁者决策
自定分值评价
除了以上的投票策略，还存在着很多很多别的投票方式，有的案例就在你身边，就是 自定分值评价
策略性投票
我们前面也提到过“策略性投票”这个词，它是投票中常见且很难避免的情况。我们来看这么一个例子
《黑暗骑士》与《教父》鹬蚌相争，《肖申克的救赎》渔翁得利
那些给其他影片打低分的行为，就是出于防御目的的 策略性投票
无法达到的公平
如果拿这些原则，去考察常见的投票制度：
以常见投票机制为纵轴、以原则为横轴：
所有的投票机制都无法满足这些原则
投票理论的发展历史
实际上，从公元前6世纪，古希腊的雅典民主时期，人们就开始探讨如何实现公平
投票理论在17世纪 法国大革命时期成为学术界的一门研究领域。波达和孔多塞 通常被视为投票理论的创始人。
在18世纪后期，与选区划分有关的议题也开始被研究，出现了可让渡投票制，也就是复选排序的方式。这里补充个小彩蛋，再查阅资料时，我发现 爱丽丝梦游仙境 的作者，路易斯卡罗尔， 虽然因作家身份为人所知， 但本身也是个数学家。
他出版过至少20本数学专注。他也曾研究过“投票悖论”的现象………………矩阵分析
1944年冯·诺伊曼 与奥斯卡·摩根斯特恩 合著《博弈论与经济行为》，标志着博弈论的创立。博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。
1951年，肯尼斯·约瑟夫·阿罗在他的著作中提出了 阿罗不可能定理
阿罗不可能定理
大家可以回顾一下，胖虎的独裁行为，其实满足了前三个条件。
就是说，如果一个投票满足了个体理性+群体理性+公平+合理，那它一定是独裁，并且这一点也是经历过严格的逻辑论证的：
公理1：个体可以有任何偏好
每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择
公理2：不相干的选择是互相独立的（独立性原则）
任何两个结果A和B之间的排序，不应受到C的影响
公理3：社会价值个体价值之间有正向关联（一致性原则）
个体理性且群体理性
公理4：没有独裁者（非独裁原则）
不存在能把个体偏好强加给社会的可能.
经历了严密的论证，满足以上公理的投票方式是不存在的。
阿罗告诉我们：当候选人数量大于等于3、选举人数量有限时，上述理性、公平、合理的条件只能导致独裁
现实中的投票
那么，美国大选如此重要，难道也是不公平的嘛？
除了策略性投票，投票还有一个很大的问题，就是 代表性问题。美国大选的“少数票总统”现象就是这一问题的注解。
比如2016年川普与希拉里的投票，特朗普成为了美国第5位少数票总统。
而少数票总统”，有违民主的“多数决”要求。这个现象所反映的选民票与选举人票之间的矛盾。
为了更深入的理解这一点，我们来展开讲一下美国大选的规则。
选举人制度
美国大选采取选举人团制度，每四年进行一次。
在建国之初，保护小州的利益，巩固联邦，采取了选举人团制度。
美国总统并非由选民直接选举产生，而是 由“选举人团”的投票产生。
在大选时，选民先把票投给各州的选举人，选出选举人团，再由选举人团投票选出总统。美国48个州都是“赢家通吃”原则 此州 选民中得票率最高的候选人，独占该州所有选举人票。
美国有50个州，共有538张选举人票。每个州的选票与州人口相关，选票数各不相同。其中长期支持某一党的选区，称为票仓。相对的 两党的支持率相差不大的州，叫做摇摆州，也叫战场州
关键摇摆州的选票最终往往可以决定大选的结果。
我们来看这张图，除了红蓝两党的票仓之外，这些棕色的就是摇摆州。
杰利蝾螈
为什么会发生”少数票总统”的现象呢？其中一个重要原因是 杰利蝾螈现象，它是一种 有目的的划分选区边界，致使投票结果更有利于某方 的行为。
蝾螈大家都知道，它是一种水陆两栖的动物。身体呈现长条形。这个词由来于 1712年，有个洲的洲长为了在选举中获胜，将自己的选区划成了蝾螈的形状。
美国每隔10年人口普查，重新划分选区。每次的选区划分，都是“勾心斗角”的关键时期
所以，美国的所谓的“民主”。背后都是政治家的博弈啊..
为什么重新划分选区，能影响投票的结果呢？
我们来看这么一个简化图，假如，原本红蓝两党的真实比例是40%:60%, 通过杰利蝾螈的方法来重新划分，会发现划分的方式，直接左右了投票的结果.
杰利蝾螈其实是骗票的一种方式。它是 违宪的，但谁也无法制止的行为。
中国古代的“田忌赛马”，仔细想想，其实也是“杰利蝾螈”行为。
结论
宏观层面
在更广义的层面上也许我们永远无法找到最“完美”的解决方法，所以我们追求完美，即使知道我们无法达到完美。
在这个过程中反而进化和自我变革出更适应的方式，而这个过程对我们来说却是更加有意义且有实际作用的。
所以在群体中才有求同存异，求同是为了生存，存异则是为了促使自我改变和变革。而在这两者之间如何把握这个度则是我们需要在不断的发展和实践中逐步掌握的。
在人类历史上，从未放弃过对公平的追求，上面的那么多理论和案例也是千百年来人类对此的专研的成果。而这些理论研究，都是人类不可忽视的追寻公平的足迹。
个体层面
而从个人层面来说，一方面我们应该尊重人类对公平公正的追求与努力，
另一方面，我们不要将投票人格化，要理性看待投票结果的局限性。如果一个投票结果你觉得不可接受，也不用太过痛苦。因为投票本身也是不完美的。
当自己作为组织者、决策人的时候，要结合上面的理论和实践，找到最合适自己处境的投票策略，扬长避短
参考资料
•https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%95%E7%A5%A8%E5%88%B6%E5%BA%A6
•https://zhuanlan.zhihu.com/p/136289236
•https://post.smzdm.com/p/apz3l6z2/
•独裁社会优于民主社会？常见的投票机制科普与阿罗不可能定理 - 知乎 (zhihu.com)
•https://en.wikipedia.org/wiki/Dodgson%27s_method
•https://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Carroll
•https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet_paradox
•阿罗不可能证明: https://zhuanlan.zhihu.com/p/422663238
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