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线性回归算法

Hsinyan

发布于 2022-06-19 09:45:37

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算法简介

解决回归问题
思想简单，实现容易
许多强大的非线性模型的基础
结果具有很强的解释性
蕴含机器学习中很多的重要思想

线性回归算法可以简单概括为，寻找一条直线，最大程度地“拟合”样本特征和样本输出标记之间的关系。

推导

假设我们找到了最佳拟合的直线方程y=ax+b，则对于每个样本点x^{(i)} ，根据我们的直线方程，预测值就为\hat{y}^{(i)}=ax^{(i)}+b，我们希望真值y^{(i)}与\hat{y}^{(i)}之间的差距尽量的小，可以用(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2来衡量真实值与预测值之间的差距，考虑到所有的样本，则是

\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2

其中

\hat{y}^{(i)}=ax^{(i)}+b

我们想使得上述函数尽可能小，那么我们的问题可以转化为找到a和b使得\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2尽可能小，我们一般把这个函数称为损失函数(loss function)或者效用函数(utillity function)，通过分析问题，确定问题的损失函数或者效用函数，通过优化损失函数或者效用函数，可以获得机器学习的模型，对于几乎所有的参数学习的算法，都是这样的套路，比如线性回归、多项式回归、逻辑回归和SVM等。

对于上述的式子，可以得到整理后的损失函数为：

\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}-ax^{(i)}-b)^2

这是一个典型的最小二乘法问题，即最小化误差的平方，可以得到

a=\frac{\sum_\limits{i=1}^{m}\left(x^{(i)}-\bar{x}\right)\left(y^{(i)}-\bar{y}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{m}\left(x^{(i)}-\bar{x}\right)^{2}}

b=\overline{y}-a\overline{x}

了便于算法的运行效率，我们尝试转化成向量化计算的形式，即\sum\limits_{i=1}^{m}w^{(i)}v^{(i)}这种形式，对于分子，令w^{(i)}=x^{(i)}-\bar{x}，v^{(i)}=y^{(i)}-\bar{y}，令w=(w^{(1)}),w^{(2)},....,w^{(n)})，v=(v^{(1)}),v^{(2)},....,v^{(n)}),则\sum\limits_{i=1}^{m}w^{(i)}v^{(i)}可以看作是w\cdot v

简单实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([1.,2.,3.,4.,5.])
y = np.array([1.,3.,2.,4.,5.])

x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)

num = 0.0
d = 0.0
for x_i, y_i in zip(x,y):
    num += (x_i - x_mean)*(y_i - y_mean)
    d += (x_i - x_mean)**2
    
a = num/d
b = y_mean - a * x_mean
y_hat = a * x + b

plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y_hat,color =  'r')
plt.axis([0,6,0,6])
plt.show()

自己封装线性回归算法

#SimpleLinearRegression.py
import numpy as np
from metrics import r2_score


class SimpleLinearRegression:

    def __init__(self):
        """初始化Simple Linear Regression模型"""
        self.a_ = None
        self.b_ = None

    def fit(self, x_train, y_train):
        """根据训练数据集x_train, y_train训练Simple Linear Regression模型"""
        assert x_train.ndim == 1, \
            "Simple Linear Regressor can only solve single feature training data."
        assert len(x_train) == len(y_train), \
            "the size of x_train must be equal to the size of y_train"

        x_mean = np.mean(x_train)
        y_mean = np.mean(y_train)

        self.a_ = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean) / (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean)
        self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean

        return self

    def predict(self, x_predict):
        """给定待预测数据集x_predict，返回表示x_predict的结果向量"""
        assert x_predict.ndim == 1, \
            "Simple Linear Regressor can only solve single feature training data."
        assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, \
            "must fit before predict!"

        return np.array([self._predict(x) for x in x_predict])

    def _predict(self, x_single):
        """给定单个待预测数据x，返回x的预测结果值"""
        return self.a_ * x_single + self.b_

    def score(self, x_test, y_test):
        """根据测试数据集 x_test 和 y_test 确定当前模型的准确度"""

        y_predict = self.predict(x_test)
        return r2_score(y_test, y_predict)

    def __repr__(self):
        return "SimpleLinearRegression()"

from SimpleLinearRegression import SimpleLinearRegression

reg = SimpleLinearRegression()
reg.fit(x,y)
# SimpleLinearRegression()
reg.predict(np.array([x_predict]))
# array([5.7])
y_hat = reg.predict(x)
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y_hat,color='g')
plt.axis([0,6,0,6])
plt.show()

衡量回归算法的标准

对于上述算法中，要求找到a和b，使得损失函数\sum\limits_{i=1}^{m}(y_{train}^{(i)}-ax_{train}^{(i)}-b)^2，尽可能小，等价于使得\sum\limits_{i=1}^{m}(y_{train}^{(i)}-\hat{y}_{train}^{(i)})^2尽可能小，那么我们是否也可以用\sum\limits_{i=1}^{m}(y_{test}^{(i)}-\hat{y}_{test}^{(i)})^2作为衡量回归算法的标准呢，仔细一想这样是不行的，这种计算方式与m的相关性很大，由此我们推出了其他几种误差的计算方法，主要有以下几个

均方误差MSE(Mean Squared Error)

\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(y_{test}^{(i)}-\hat{y}_{test}^{(i)})^2

均方根误差RMSE(Root Mean Squared Error)

\sqrt{\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(y_{test}^{(i)}-\hat{y}_{test}^{(i)})^2}=\sqrt{MSE_{test}}

平均绝对误差MAE(Mean Absolute Error)

\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\vert y_{test}^{(i)}-\hat{y}_{test}^{(i)}\vert

R Squared

R^2=1-\frac{SS_{residual}}{SS_{total}}=1-\frac{\sum\limits_i(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2}{\sum\limits_i(\overline{y}-y^{(i)})^2}

其中SS_{residual}表示Residual Sum of Squares，SS_{total}表示Total Sum of Squares，这个评价方法也是scikit-learn中线性回归算法中score方法调用的评价指标。对于\sum\limits_i(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2我们可以理解成使用我们的模型预测产生的错误，对于\sum\limits_i(\overline{y}-y^{(i)})^2可以理解为使用y=\overline{y}预测产生的错误，有以下几点需要清楚：

对于R^2来说，总是小于等于1的
R^2越大越好，当模型预测不犯任何错误时，R^2=1
当我们的模型等于基准模型时，R^2=0
如果R^2<0

另外，可以推导得到R Squared、MSE和方差之间的关系

R^2=1-\frac{\sum\limits_i(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2}{\sum\limits_i(\overline{y}-y^{(i)})^2}=1-\frac{(\sum\limits_{i=1}^m(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2)/m}{(\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-\overline{y})^2)/m}=1-\frac{MSE(\hat{y},y)}{Var(y)}

以波士顿房价数据为例对线性回归结果进行评价

from sklearn import datasets
boston = datasets.load_boston()
x = boston.data[:,5]  #只使用房间数量这个特征
x.shape
# (506,)
y = boston.target

plt.scatter(x,y)
plt.show()

发现存在边界值，需要对其进行清除

# 去掉边界点
x = x[y<50.0]
y = y[y<50.0]
plt.scatter(x,y)
plt.show()

# 使用自己封装的两个函数
from model_selection import train_test_split
from SimpleLinearRegression import SimpleLinearRegression

x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,seed = 666)
reg =  SimpleLinearRegression()
reg.fit(x_train,y_train)
y_predict = reg.predict(x_test)
plt.scatter(x_train,y_train)
plt.plot(x_train,reg.predict(x_train),color='r')
plt.show()

# MSE
mse_test = np.sum((y_predict - y_test)**2) / len(y_test)
# 24.156602134387438

# RMSE
from math import sqrt
rmse_test = sqrt(mse_test)
# 4.914936635846635

# MAE
mae_test = np.sum(np.absolute(y_predict - y_test) / len(y_test))
# 3.543097440946387

# R square
r_square = 1 - mean_squared_error(y_test,y_predict) / np.var(y_test)
# 0.6129316803937322

# 也可以使用scikit-learn中的函数来计算MSE和MAE
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
mean_squared_error(y_test,y_predict)
# 24.156602134387438
mean_absolute_error(y_test,y_predict)
3.5430974409463873