线性回归

线性回归

线性回归预测函数：

h_{\theta}(x)=\theta^{T}x

逻辑回归预测函数：

h_{\theta}^{(x)}=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}

线性回归损失函数：

J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h(\theta^{(i)}-y^i))^2+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^m\theta_j^2

逻辑回归损失函数：

MSE直接应用到LR中会导致损失函数变成非凸函数，所以我们加入log让损失函数变成了凸函数

极大似然（二项分布中）：

image-20220307115455459

非二项分布：

image-20220308100421863

（特定采样结果出现的概率累乘）

由于小数连乘操作可能造成下溢，一般会采用极大对数似然进行计算

极大对数似然（二项分布中）：

image-20220307115510199

非二项分布：

image-20220308102624958

损失函数（经验损失+结构损失）：

J(\theta)=-\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y^ilog{h_\theta(x^i)}+(1-y^i)log(1-h_\theta x^{(i)})^2+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^m\theta_j^2

两者损失函数求导后，除了假设函数不一样，表示形式是一样的：

image-20220301171851453

损失函数中参数倍数变化并不会影响最优值的最终结果

1.1 逻辑回归LR(logistic regression)

1.1.1 LR与sigmiod

h_{\theta}^{(x)}=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}

其中\theta是收敛之后得到的结果

image-20220218231835992

image-20220219101314250

根据sigmoid曲线，h_{\theta}≥0时，置为1；否则置为0

1.1.1.1 决策边界

image-20220219102924814

image-20220219103450449

1.1.2 代价函数

当我们把线性回归的代价函数放到逻辑回归上使用时，会发现代价函数J由凸函数(convex)变成了有很多局部最大值的非凸函数，导致寻找最小值变得困难，所有我们选择了另一种能使LR变成凸函数的代价函数。

image-20220219104254098

而对数函数log的曲线，能让代价函数变为凸函数的方程吗？

分析

image-20220219110405097

化简

image-20220219112119546

得到如下结果，使用了==极大似然法==（能够在统计学中能为不同模型快速寻找参数），并且结果是凸函数

\begin{align} J(\theta) & = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^mCost(h_{\theta}(x^{(i)},y^{(i)}))\\ & = -\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^my^{(i)}logh_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))] \end{align}

参数梯度下降：

image-20220219113754588

==可以发现，求导后线性回归和逻辑回归的公式是一样的，但是他们的假设函数h(θ)是不同的，所以两个函数梯度下降公式是不同的==

求导sigmiod得到\partial_{sigmoid}=sigmoid[1-sigmoid]

1.2 高级优化

• 共轭梯度法Conjugate Gradient
• 拟牛顿法中的对称正定迭代矩阵BFGS
• 近似BFGS，L-BFGS相对BFGS能够减少空间的使用

1.2.1 优点

• 无需设定学习率，学习率自动动态调整
• 大部分情况下速度比梯度下降法快很多

1.2.2 缺点

实现比梯度下降法复杂很多，但是基本上都有封装好的库，如python中的scipy.optimize.fmin_bfgs

1.3 逻辑回归的多分类任务

训练多个逻辑回归分类器，然后将输入放到各分类器中，将输入归类为得分值最大的类别即可

1.4 过拟合和欠拟合解决

1.4.1 过拟合

• 适当减少多余的参数
• 使用正则化，适当减少参数维度(阶/次方)/大小
• 增加数据量
• dropout
• 清晰数据
• 提取终止训练

1.4.2 欠拟合

• 增加特征和数据
• 增加高阶多项式项
• 减少正则化参数

1.5 正则化惩罚项

加入惩罚项后，会降低高维参数的值，让他们趋于0（也就是==简化假设模型，限制模型参数，保持参数尽量小==），这样能让假设h函数变得更加的平滑

image-20220219164340840

我们不知道哪些参数是高维的，该去降低哪些参数的维度，在代价函数中加入正则化惩罚项，对每个参数进行限制

1.5.1 惩罚项公式以及作用

公式：

image-20220219170024442

image-20220219222810433

==简化假设模型，限制模型参数，保持参数尽量小==，\lambda作用是控制两个不同目标之间的取舍，设置合适的\lambda参数防止模型欠拟合或者无明显作用