DP入门之整数拆分！
343. 整数拆分
力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
思路
看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....
我们来看一下如何使用动规来解决。
动态规划
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
- 确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
- dp的初始化
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
- 确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
所以遍历顺序为：
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
- 举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
343.整数拆分
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
贪心
本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
给出我的C++代码如下：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
if (n == 4) return 4;
int result = 1;
while (n > 4) {
result *= 3;
n -= 3;
}
result *= n;
return result;
}
};
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
总结
本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
for (int i = 4; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
};
这个代码也是可以过的！
在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。看起来没毛病！
但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！
我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
其他语言版本
Java
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
//dp[i]为正整数i拆分结果的最大乘积
int[] dp = new int[n+1];
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j < i - 1; ++j) {
//j*(i-j)代表把i拆分为j和i-j两个数相乘
//j*dp[i-j]代表把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分，取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
}
}
return dp[n];
}
}
Python
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp = [0] * (n + 1)
dp[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
for j in range(1, i - 1):
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
return dp[n]
Go
func integerBreak(n int) int {
/**
动态五部曲
1.确定dp下标及其含义
2.确定递推公式
3.确定dp初始化
4.确定遍历顺序
5.打印dp
**/
dp:=make([]int,n+1)
dp[1]=1
dp[2]=1
for i:=3;i<n+1;i++{
for j:=1;j<i-1;j++{
// i可以差分为i-j和j。由于需要最大值，故需要通过j遍历所有存在的值，取其中最大的值作为当前i的最大值，在求最大值的时候，一个是j与i-j相乘，一个是j与dp[i-j].
dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]))
}
}
return dp[n]
}
func max(a,b int) int{
if a>b{
return a
}
return b
}
Javascript
var integerBreak = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(0)
dp[2] = 1
for(let i = 3; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j < i; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
}
}
return dp[n]
};
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