模拟ARCH过程模型分析时间序列平稳性、波动性

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在事物的发展过程中，常表现出复杂的波动情况，即时而波动的幅度较缓，而又时常出现波动集聚性(VolatilitY clustering),在风险研究中经常遇到这种情况。恩格尔(Engle)在1982年提出了用来描述方差波动的自回归条件异方差模型ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity model )。并由博勒斯莱 文(Bollerslev, T., 1986)发展成为广义自回归条件异方 差GARCH (Generalized ARCH),后来又发展成为很多的特殊形式。

在AR(1)过程的背景下，我们花了一些时间来解释当

接近于1时会发生什么。

• 如果

过程是平稳的，

• 如果

该过程是随机游走

• 如果

这个过程会大幅波动

同样，随机游走是非常有趣的过程，具有难以理解的特性。例如，

作为

，并且该过程将无限次穿过 _x_轴……

我们仔细研究了 ARCH(1) 过程的性质，尤其是当

，我们得到的结果可能难以理解。

考虑一些 ARCH(1) 过程

，具有高斯噪声，即

其中

是一个 iid 序列

变量。这里

和

必须是正的。

回顾 由于

. 因此

，所以方差存在，并且只有当

, 在这种情况下

此外，如果

，则可以得到第四矩，

. 现在，如果我们回到研究方差时获得的属性，如果

， 或者

?

如果我们查看模拟，我们可以生成一个 ARCH(1) 过程 ， 例如

。

> ea=rnorm
> eson=rnorm
> sga2=rep
> for(t in 2:n){

> plot

必须在

之间能够计算出

的第二时刻。但是，有可能有一个具有无限变异的平稳过程。

迭代

一次又一次地迭代……

其中

在这里，我们有一个正项的总和，我们可以使用所谓的 Cauchy rule：定义

那么，如果

，

收敛。这里，

也可以写成

并且根据大数定律，因为我们这里有一个独立同分布项的总和，

因此，如果

， 然后

会有限制，当

取无穷大。

上面的条件可以写成

这就是所谓的 Lyapunov 系数。

方程

是

一个条件 .

在这种情况下

，这个上界的数值是3.56。

> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))

在这种情况下 （

)，方差可能是无限的，但序列是平稳的。另一方面，如果

， 然后

几乎肯定会走向无穷大，因为

走向无穷大。

但是为了观察这种差异，我们需要大量的观察。例如，

和

,

我们很容易看出区别。我并不是说很容易看出上面的分布具有无限的方差，但仍然如此。

如果我们考虑对上述序列绘制希尔图，在正

的尾部

> hil

或负

的尾部

-epsilon

我们可以看到，尾部指数（严格来说）小于2（意味着2阶的时刻不存在）。

为什么它难以理解？也许是因为这里

不是弱平稳（在

意义上），而是强平稳。这不是通常的弱和强的关系方式。这可能就是为什么我们不称其为强平稳性，而称其为严格平稳性。

本文摘选《R语言模拟ARCH过程模型分析时间序列平稳性、波动性》