【多路归并】从朴素优先队列到多路归并

题目描述

这是 LeetCode 上的「264. 丑数 II」，难度为「中等」。

Tag : 「多路归并」、「堆」、「优先队列」

给你一个整数 n ，请你找出并返回第 n 个 丑数 。

丑数 就是只包含质因数 2、3 和 5 的正整数。

示例 1：

输入：n = 10

输出：12

解释：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12] 是由前 10 个丑数组成的序列。

示例 2：

输入：n = 1

输出：1

解释：1 通常被视为丑数。

提示：

• 1 <= n <= 1690

基本思路

根据丑数的定义，我们有如下结论：

• 1 是最小的丑数。
• 对于任意一个丑数 x ，其与任意的质因数（2 、3 、5 ）相乘，结果（2x 、3x 、5x ）仍为丑数。

优先队列（小根堆）

有了基本的分析思路，一个简单的解法是使用优先队列：

1. 起始先将最小丑数 1 放入队列
2. 每次从队列取出最小值 x ，然后将 x 所对应的丑数 2x 、3x 和 5x 进行入队。
3. 对步骤 2 循环多次，第 n 次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队，我们需要使用数据结构 Set 来记录入过队列的丑数。

代码：

class Solution {
    int[] nums = new int[]{2,3,5};
    public int nthUglyNumber(int n) {
        Set<Long> set = new HashSet<>();
        Queue<Long> pq = new PriorityQueue<>();
        set.add(1L);
        pq.add(1L);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            long x = pq.poll();
            if (i == n) return (int)x;
            for (int num : nums) {
                long t = num * x;
                if (!set.contains(t)) {
                    set.add(t);
                    pq.add(t);
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

• 时间复杂度：从优先队列中取最小值为 O(1) ，往优先队列中添加元素复杂度为 O(\log{n}) 。整体复杂度为O(n\log{n})
• 空间复杂度：O(n)

多路归并（多指针）

从解法一中不难发现，我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来（使用「已有丑数」乘上「质因数」2 、3 、5 ）。

因此，如果我们所有丑数的有序序列为 a1,a2,a3,...,an 的话，序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列（中的至少一个）覆盖：

• 由丑数 * 2 所得的有序序列：1 * 2 、2 * 2 、3 * 2 、4 * 2 、5 * 2 、6 * 2 、6 * 2 ...
• 由丑数 * 3 所得的有序序列：1 * 3 、2 * 3 、3 * 3 、4 * 3 、5 * 3 、6 * 3 、8 * 3 ...
• 由丑数 * 5 所得的有序序列：1 * 5 、2 * 5 、3 * 5 、4 * 5 、5 * 5 、6 * 5 、8 * 5 ...

举个🌰，假设我们需要求得 [1, 2, 3, ... , 10, 12] 丑数序列 arr 的最后一位，那么该序列可以看作以下三个有序序列归并而来：

• 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, ... , 10 * 2, 12 * 2 ，将 2 提出，即arr * 2
• 1 * 3, 2 * 3, 3 * 3, ... , 10 * 3, 12 * 3 ，将 3 提出，即arr * 3
• 1 * 5, 2 * 5, 3 * 5, ... , 10 * 5, 12 * 5 ，将 5 提出，即arr * 5 因此我们可以使用三个指针来指向目标序列 arr 的某个下标（下标 0 作为哨兵不使用，起始都为 1 ），使用 arr[下标] * 质因数 代表当前使用到三个有序序列中的哪一位，同时使用 idx 表示当前生成到 arr 哪一位丑数。

代码：

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        // ans 用作存储已有丑数（从下标 1 开始存储，第一个丑数为 1）
        int[] ans = new int[n + 1];
        ans[1] = 1;
        // 由于三个有序序列都是由「已有丑数」*「质因数」而来
        // i2、i3 和 i5 分别代表三个有序序列当前使用到哪一位「已有丑数」下标（起始都指向 1）
        for (int i2 = 1, i3 = 1, i5 = 1, idx = 2; idx <= n; idx++) {
            // 由 ans[iX] * X 可得当前有序序列指向哪一位
            int a = ans[i2] * 2, b = ans[i3] * 3, c = ans[i5] * 5;
            // 将三个有序序列中的最小一位存入「已有丑数」序列，并将其下标后移
            int min = Math.min(a, Math.min(b, c));
            // 由于可能不同有序序列之间产生相同丑数，因此只要一样的丑数就跳过（不能使用 else if ）
            if (min == a) i2++; 
            if (min == b) i3++;
            if (min == c) i5++;
            ans[idx] = min;
        }
        return ans[n];
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.264 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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